Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 2 см и 8 см, а угол между ними составляет 120°? Длина

Морж

6

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Для начала, мы можем построить параллелограмм и обозначить его стороны и углы следующим образом:

\[
\begin{array}{cccc}
& & C & \\
& \underline{\hspace{1cm}} & \underline{\hspace{2cm}} & \underline{\hspace{1cm}} \\
A & \underline{\hspace{2cm}} & \angle & \underline{\hspace{2cm}} \\
& \underline{\hspace{1cm}} & \underline{\hspace{2cm}} & \underline{\hspace{1cm}} \\
& & B & \\
\end{array}
\]

Из условия задачи мы знаем, что стороны параллелограмма равны 2 см и 8 см, а угол между ними равен 120°.

Давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

Сторона AB - \(a\) (длина 8 см)

Сторона BC - \(b\) (длина 2 см)

Угол ABC - \(\gamma\) (угол 120°)

Для решения задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]

где \(c\) - длина диагонали параллелограмма.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу:

\[c^2 = (8 \, \text{см})^2 + (2 \, \text{см})^2 - 2 \cdot 8 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см} \cdot \cos(120°)\]

После подстановки и упрощения, мы получим:

\[c^2 = 64 \, \text{см}^2 + 4 \, \text{см}^2 - 32 \, \text{см}^2 \cdot \cos(120°)\]

Рассчитаем значение косинуса угла 120°:

\[\cos(120°) = -\frac{1}{2}\]

Подставляем это значение обратно в формулу:

\[c^2 = 68 \, \text{см}^2 - 32 \, \text{см}^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

Выполняем вычисления:

\[c^2 = 68 \, \text{см}^2 - 32 \, \text{см}^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 68 \, \text{см}^2 + 16 \, \text{см}^2\]

\[c^2 = 84 \, \text{см}^2\]

Окончательный ответ:

\[c = \sqrt{84 \, \text{см}^2} = \sqrt{4 \cdot 21 \, \text{см}^2} = 2\sqrt{21} \, \text{см}\]

Таким образом, длина диагонали AC составляет \(2\sqrt{21}\) см.