Чему равен косинус угла В в треугольнике АВС, если координаты точки А - (4, 4), B - (3, 7), C - (-4

Тарас_281

67

Для решения этой задачи нам понадобятся координаты вершин треугольника АВС. Затем мы будем использовать формулу косинуса, чтобы вычислить значение косинуса угла В.

Координаты точки A даны как (4, 4), B даны как (3, 7), а C даны как (-4, -6). Давайте сначала построим треугольник на координатной плоскости, чтобы было проще представить себе ситуацию.

У нас есть точки A, B и C.

C (-4, -6)
/\
/ \
/ \
B (3, 7) ---- A (4, 4)

Прежде чем приступить к решению, нам понадобится найти длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой дистанции между двумя точками:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек, в данном случае точек A и B.

\[ AB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Теперь у нас есть длина стороны AB треугольника АВС, поэтому можем перейти к вычислению косинуса угла В с использованием формулы косинуса:

\[ \cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \]

Но чтобы использовать эту формулу, нам нужно знать длины оставшихся двух сторон BC и AC треугольника АВС. Давайте найдем их по аналогии:

\[ BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (-6 - 7)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-13)^2} = \sqrt{49 + 169} = \sqrt{218} \]

\[ AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (-6 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} \]

Теперь, подставим значения длин сторон AB, BC и AC в формулу косинуса:

\[ \cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(\sqrt{10})^2 + (\sqrt{218})^2 - (\sqrt{164})^2}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{218}} \]

\[ \cos(\angle B) = \frac{10 + 218 - 164}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{218}} = \frac{64}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{218}} = \frac{32}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{218}} \]

\[ \cos(\angle B) \approx 0.938 \]

Таким образом, косинус угла В в треугольнике АВС примерно равен 0.938.