Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его меньшая сторона основания равна 3 м, высота равна

Morskoy_Shtorm

10

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с нахождения диагонали основания прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим меньшую сторону основания, которая равна 3 м. Так как это прямоугольный параллелепипед, то диагональ основания будет его гипотенузой, а стороны - катетами. Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{м}\]

2. Теперь рассмотрим диагональ, образованную высотой и диагональю основания. Угол между этой диагональю и меньшей боковой гранью составляет 30°. Мы можем разделить этот треугольник на два прямоугольных треугольника, используя перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла к гипотенузе.

3. Зная длину стороны основания прямоугольника (3 м) и угол между гипотенузой и меньшей стороной (30°), мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны прямого угла треугольника. В данном случае, нам понадобится значение синуса угла 30°:

\(\sin(30°) = \frac{a}{d_2}\), где \(a\) - длина катета (меньшая сторона прямоугольника), \(d_2\) - длина гипотенузы (искомая диагональ).

Раскрывая значение синуса 30°, получаем:

\(\frac{1}{2} = \frac{3}{d_2}\)

Домножим обе стороны на \(d_2\):

\(d_2 = 2 \times 3 = 6 \, \text{м}\)

4. Теперь, имея значения диагоналей основания и высоты, мы можем найти длину общей диагонали. Два прямоугольных треугольника, образованных диагоналями основания и высотой, являются противолежащими и прилежащими к углам треугольника, образованного общей диагональю и высотой. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины общей диагонали:

\(D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2 \times d_1 \times d_2 \times \cos(90°)}\)

Раскрывая значение косинуса 90° (косинус прямого угла равен нулю), получаем:

\(D = \sqrt{5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times 0}\)

\(D = \sqrt{25 + 36 - 0}\)

\(D = \sqrt{61} \approx 7.81 \, \text{м}\)

Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет около 7.81 м.