Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, если площадь одной из его граней составляет 48 см^2, её периметр

Борис

15

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда может быть найдена с помощью формулы:

\[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]

где d - длина диагонали, a, b и c - длины рёбер параллелепипеда.

Первым шагом мы можем найти длину ребра, перпендикулярного данной грани. Рассмотрим грань прямоугольного параллелепипеда со сторонами a и b. Площадь этой грани равна 48 см², а периметр равен 28 см. Периметр грани можно выразить через длины сторон:

\[
2(a+b)=28 \Rightarrow a+b=\frac{28}{2}=14
\]

Теперь нам надо решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}ab=48\\a+b=14\end{cases}
\]

Мы можем найти значения a и b, решив эту систему уравнений. Давайте это сделаем:

Мы можем выразить a или b через другую переменную в первом уравнении: например, a = \(\frac{48}{b}\). Подставляя это во второе уравнение, мы получаем:

\[
\frac{48}{b} + b = 14
\]

\[
48 + b^2 = 14b
\]

\[
b^2 - 14b + 48 = 0
\]

Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители или решить с помощью дискриминанта:

\[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4
\]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

\[
b_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 2}{2} = 8
\]

\[
b_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 2}{2} = 6
\]

Так как прямоугольный параллелепипед имеет три ребра, мы можем найти значения a и b и найти третье ребро по формуле:

\[
c = \frac{48}{a \cdot b}
\]

Теперь рассчитаем длину ребра и диагонали параллелепипеда:

Для b = 8:
c = \(\frac{48}{6 \cdot 8} = \frac{48}{48} = 1\)

Таким образом, одно из рёбер параллелепипеда равно 8 см, другое ребро равно 6 см, а перпендикулярное ребро равно 1 см. Теперь мы можем найти длину диагонали, подставив значения в формулу:

\[
d = \sqrt{8^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 36 + 1} = \sqrt{101} \approx 10.05
\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет около 10.05 см.