Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, где меньшая сторона основания равна 9 м и высота равна 12

Скоростной_Молот

40

Для решения этой задачи нам понадобятся знания тригонометрии и геометрии.

Давайте начнем с построения схемы прямоугольного параллелепипеда. Пусть основание прямоугольника имеет длину 9 м и ширину b м (мы не знаем ее значение). Высота параллелепипеда равна 12 м.

Длина диагонали параллелепипеда обозначена как D, а заданный угол образует сторона высоты, которую мы обозначим как h.

Когда мы соединим два угла параллелепипеда, образующих заданный угол 30°, мы получаем равнобедренный треугольник. Давайте обозначим угол между более длинной стороной основания и диагональю параллелепипеда как α.

Теперь мы можем заметить, что основание параллелепипеда и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник, в котором сторона основания равна 9 м, сторона высоты равна h и гипотенуза равна D/2.

Используя тригонометрическую функцию синуса, мы можем записать:

\[\sin(\alpha) = \frac{h}{D/2}\]

Также мы знаем, что синус 30° равен 1/2:

\[\sin(30°) = \frac{1}{2}\]

Используя эти два уравнения, мы можем записать:

\[\frac{1}{2} = \frac{h}{D/2}\]

Теперь, умножая обе стороны уравнения на 2, получаем:

\[1 = \frac{h}{D}\]

Таким образом, мы получаем, что

\[h = D\]

Теперь вернемся к нашему прямоугольному треугольнику. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы записать:

\[(9)^2 + (h)^2 = (D/2)^2\]

\[(9)^2 + (D)^2 = (D/2)^2\]

Упростим это выражение:

\[81 + D^2 = \frac{D^2}{4}\]

Умножаем обе стороны уравнения на 4:

\[324 + 4D^2 = D^2\]

\[3D^2 = 324\]

\[D^2 = \frac{324}{3}\]

\[D = \sqrt{\frac{324}{3}}\]

\[D = \sqrt{108}\]

\[D = \sqrt{36 \cdot 3}\]

\[D = 6\sqrt{3}\]

Теперь мы можем заменить D в исходном условии:

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна \(6\sqrt{3}/\sqrt{3} = 6\) метров.

Таким образом, длина диагонали этого параллелепипеда равна 6 метров.