Каковы скалярные произведения векторов и углы между ними в следующих случаях для ромба ABCD, у которого диагонали

Muha

31

BC и вектор AC.

Для начала, давайте найдем величину векторов AB, AD, AC и DC. Так как BD=AB=4 см, то поскольку AD и AC - диагонали ромба, то они должны быть равны друг другу.

Длина векторов AB и AD равна 4 см.

Теперь посмотрим на векторное представление для каждого случая и использование скалярного произведения:

а) Вектор AB и вектор AD:
AB = \(4 \cdot \vec{i}\)
AD = \(4 \cdot \vec{j}\)

Здесь \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) - базисные единичные векторы.

Скалярное произведение между векторами AB и AD может быть найдено по формуле:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\theta_{AB, AD})\),

где \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AD}|\) - величины векторов AB и AD, а \(\theta_{AB, AD}\) - угол между ними.

В данном случае \(\theta_{AB, AD}\) равен 90 градусам, так как векторы AB и AD перпендикулярны друг другу.

Подставляя значения, получаем:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ) = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AD равно нулю.

б) Вектор AB и вектор AC:
AB = \(4 \cdot \vec{i}\)
AC = \(4 \cdot \vec{i} - 4 \cdot \vec{j}\)

В данном случае, вектор AB и вектор AC имеют только горизонтальную компоненту, так как вертикальная компонента вектора AC равна -4.

Скалярное произведение между векторами AB и AC может быть найдено по формуле:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta_{AB, AC})\),

где \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AC}|\) - величины векторов AB и AC, а \(\theta_{AB, AC}\) - угол между ними.

В данном случае \(\theta_{AB, AC}\) также равен 90 градусам, так как векторы AB и AC перпендикулярны друг другу.

Подставляя значения, получаем:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ) = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC также равно нулю.

в) Вектор AD и вектор DC:
AD = \(4 \cdot \vec{j}\)
DC = \(-4 \cdot \vec{i} - 4 \cdot \vec{j}\)

Векторы AD и DC имеют только вертикальную компоненту.

Скалярное произведение между векторами AD и DC может быть найдено по формуле:
\(\vec{AD} \cdot \vec{DC} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(\theta_{AD, DC})\),

где \(|\vec{AD}|\) и \(|\vec{DC}|\) - величины векторов AD и DC, а \(\theta_{AD, DC}\) - угол между ними.

В данном случае \(\theta_{AD, DC}\) также равен 90 градусам, так как векторы AD и DC перпендикулярны друг другу.

Подставляя значения, получаем:
\(\vec{AD} \cdot \vec{DC} = 4 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ) = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов AD и DC также равно нулю.

г) Вектор BC и вектор AC:
BC = \(-4 \cdot \vec{i}\)
AC = \(4 \cdot \vec{i} - 4 \cdot \vec{j}\)

В данном случае, вектор BC и вектор AC также имеют только горизонтальную компоненту.

Скалярное произведение между векторами BC и AC может быть найдено по формуле:
\(\vec{BC} \cdot \vec{AC} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta_{BC, AC})\),

где \(|\vec{BC}|\) и \(|\vec{AC}|\) - величины векторов BC и AC, а \(\theta_{BC, AC}\) - угол между ними.

В данном случае \(\theta_{BC, AC}\) также равен 90 градусам, так как векторы BC и AC перпендикулярны друг другу.

Подставляя значения, получаем:
\(\vec{BC} \cdot \vec{AC} = -4 \cdot 4 \cdot \cos(90^\circ) = 0\).

Таким образом, скалярное произведение векторов BC и AC также равно нулю.