Какова длина другой диагонали параллелограмма, если стороны параллелограмма равны 3 см и 3,5 см, а одна из диагоналей

Yarost

30

Для начала, нам нужно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делят его на две равные части и пересекаются в их общей середине.

Пусть длина одной диагонали параллелограмма равна \(d\), а стороны равны 3 см и 3,5 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины другой диагонали.

Зная стороны параллелограмма, мы можем выразить длину \(d\) через них. Рассмотрим треугольник, образуемый одной диагональю, стороной параллелограмма и половиной другой диагонали:

\[d^2 = (3\,см)^2 + (3,5\,см)^2 - 2 \cdot 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \cos(\alpha),\]

где \(\cos(\alpha)\) - это косинус угла, образованного стороной параллелограмма и половиной другой диагонали.

Теперь нам нужно найти угол \(\alpha\). Мы можем использовать косинусную теорему для треугольника со сторонами 3 см, 3,5 см и \(d\):

\[(3\,см)^2 + (3,5\,см)^2 - 2 \cdot 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \cos(\alpha) = d^2.\]

Раскроем скобки:

\[9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 21\,см^2 \cdot \cos(\alpha) = d^2.\]

Сократим:

\[21,25\,см^2 - 21\,см^2 \cdot \cos(\alpha) = d^2.\]

Теперь найдем значение \(\cos(\alpha)\):

\[\cos(\alpha) = \frac{21,25\,см^2 - d^2}{21\,см^2}.\]

Производим замену в нашем первом уравнении:

\[d^2 = (3\,см)^2 + (3,5\,см)^2 - 2 \cdot 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{21,25\,см^2 - d^2}{21\,см^2}.\]

Раскрываем умножение:

\[d^2 = 9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 2 \cdot 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{21,25\,см^2}{21\,см^2} - 2 \cdot 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{-d^2}{21\,см^2}.\]

Сокращаем:

\[d^2 = 9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot 2 - 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{d^2}{21\,см^2}.\]

Выполняем вычисления:

\[d^2 = 9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 21\,см^2 \cdot \frac{1}{3,5} - 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{d^2}{21\,см^2}.\]

Далее, собираем все параметры на одной стороне уравнения:

\[d^2 + 3\,см \cdot 3,5\,см \cdot \frac{d^2}{21\,см^2} = 9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 21\,см^2 \cdot \frac{1}{3,5}.\]

\[\frac{d^2}{21\,см^2} \cdot (1 + \frac{3\,см \cdot 3,5\,см}{21\,см^2}) = 9\,см^2 + 12,25\,см^2 - 21\,см^2 \cdot \frac{1}{3,5}.\]

Выполняем вычисления:

\[\frac{d^2}{21\,см^2} \cdot \frac{289}{280} = \frac{361}{4} - \frac{60}{7}.\]

Упрощаем:

\[\frac{d^2}{21\,см^2} \cdot \frac{289}{280} = \frac{2527}{28}.\]

Умножаем обе части на \(\frac{280}{289}\):

\[d^2 = \frac{2527}{28} \cdot \frac{280}{289} \cdot 21\,см^2.\]

Производим вычисления:

\[d^2 = \frac{2527}{17}\,см^2.\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[d = \sqrt{\frac{2527}{17}}\,см.\]

Таким образом, длина другой диагонали параллелограмма равна \(\sqrt{\frac{2527}{17}}\)см, что составляет примерно 10,03 см (с точностью до сотых).