Какова длина дуги, разделенной хордами, соединяющими середины соседних сторон, вписанного квадрата в окружность радиуса

Панда_8139

46

Конечно! Давайте решим эту задачу. Мы должны найти длину дуги, разделенной хордами, соединяющими середины соседних сторон вписанного квадрата в окружность радиуса 4дм.

Давайте начнем с построения схемы. Вписанный квадрат будет иметь сторону, равную диаметру окружности, так как каждая сторона должна быть касательной к окружности. Диаметр окружности равен двум радиусам, то есть 8дм.

Теперь давайте нарисуем одну из хорд, соединяющих середины соседних сторон вписанного квадрата. Заметим, что эта хорда является диагональю квадрата.

Применим теорему Пифагора к полученному треугольнику. Известно, что сторона квадрата равна 8дм, значит длина диагонали будет составлять:
\[d = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} \approx 11.31\]

Теперь давайте найдем длину дуги, разделенной хордами, соединяющими середины соседних сторон. Для этого нам нужно найти длину четверти окружности.

Окружность имеет длину, равную \(2\pi\), где \(\pi\) - это математическая константа, приближенно равная 3.14159. Так как в нашем случае радиус равен 4дм, то для нахождения длины четверти окружности умножим длину всей окружности на \(\frac{1}{4}\):
\[l = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 4дм = \frac{1}{2} \pi \cdot 4дм\]

Теперь давайте подставим значение \(\pi \approx 3.14159\) и рассчитаем ответ:
\[l \approx \frac{1}{2} \cdot 3.14159 \cdot 4дм = 6.28318дм\]

Таким образом, длина дуги, разделенной хордами, соединяющими середины соседних сторон вписанного квадрата в окружность радиуса 4дм, составляет приблизительно 6.28318дм.