Какова длина гипотенузы AB в треугольнике ABC, где угол C равен 90°, высота CD равна 3 см и острый угол равен 30°?

Золотой_Медведь

51

Чтобы найти длину гипотенузы AB в треугольнике ABC, нам потребуется использовать теорему Пифагора. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Рассмотрим известные данные. У нас есть треугольник ABC, угол C равен 90° (это означает, что треугольник ABC является прямоугольным), высота CD равна 3 см и острый угол равен 30°.

Шаг 2: Мы можем использовать высоту CD, чтобы разделить треугольник ABC на два меньших треугольника. Обозначим точку пересечения высоты и гипотенузы как точку E.

Шаг 3: Так как угол C равен 90°, то треугольник CDE также является прямоугольным. Мы знаем, что CD равна 3 см. Пусть DE равно x см. Затем CE будет (3 - x) см.

Шаг 4: Внимательно рассмотрим треугольник CDE. У нас есть два угла: один равен 90° (угол CDE), а второй равен 30° (острый угол CED).

Шаг 5: Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длины сторон треугольника CDE. Так как у нас есть противолежащий катет DE и гипотенуза CD, мы можем использовать тангенс угла CED. Формула для тангенса такая:

\[\tan(\text{{угол CED}}) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

В нашем случае, это:

\[\tan(30°) = \frac{x}{{3 - x}}\]

Шаг 6: Теперь решим это уравнение для x. У нас есть:

\[\sqrt{3}/3 = \frac{x}{{3 - x}}\]

Умножим обе стороны на \(3 - x\):

\[\sqrt{3}(3 - x) = x\]

Раскроем скобки:

\[3\sqrt{3} - x\sqrt{3} = x\]

Перенесем x на одну сторону:

\[3\sqrt{3} = (x + x\sqrt{3})\]

\[3\sqrt{3} = x(1 + \sqrt{3})\]

Шаг 7: Разделим обе стороны на \(1 + \sqrt{3}\):

\[x = \frac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\]

Шаг 8: Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - 1\):

\[x = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}\]

\[x = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{3 - 1}\]

\[x = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 9: Теперь, когда мы знаем длину стороны DE, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AB.

Теорема Пифагора гласит:

\[AB^2 = AC^2 + CB^2\]

Так как у нас есть угол C равный 90°, мы можем записать это как:

\[AB^2 = CD^2 + DE^2\]

\[AB^2 = 3^2 + \left(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}\right)^2\]

\[AB^2 = 9 + \left(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}\right)^2\]

Шаг 10: Вычислим это выражение:

\[AB^2 = 9 + \left(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
\[AB^2 = 9 + \frac{(9 - 3\sqrt{3})^2}{4}\]

Давайте упростим это выражение:

\[AB^2 = 9 + \frac{(81 - 54\sqrt{3} + 27)}{4}\]
\[AB^2 = 9 + \frac{108 - 54\sqrt{3}}{4}\]
\[AB^2 = 9 + 27 - 13.5\sqrt{3}\]
\[AB^2 = 36 - 13.5\sqrt{3}\]

Шаг 11: Возведем в квадрат обе стороны, чтобы найти длину гипотенузы AB:

\[AB = \sqrt{36 - 13.5\sqrt{3}}\]

На этом этапе мы получили значение длины гипотенузы AB в радикальной форме.

В итоге, длина гипотенузы AB в треугольнике ABC, где угол C равен 90°, высота CD равна 3 см и острый угол равен 30°, равна \(\sqrt{36 - 13.5\sqrt{3}}\) сантиметрам.