Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из его углов равен 60 градусов и сумма гипотенузы

Кира

57

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что прямоугольный треугольник имеет угол в 90 градусов и угол в 60 градусов. По определению прямоугольного треугольника, сумма углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, третий угол треугольника будет равен 180 - 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь давайте обратимся к соотношениям внутри треугольника. У нас есть гипотенуза, которую обозначим буквой $c$, и два катета, которые обозначим буквами $a$ и $b$.

Мы знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 65. Можем записать это в виде следующего уравнения:

$$c+a=65\text{(уравнение 1)}$$

Также у нас есть угол в 60 градусов. Мы можем использовать соотношение тригонометрии для выражения гипотенузы через катеты и угол:

$$c=a\cdot \sin ({60}^{\circ })+b\cdot \cos ({60}^{\circ })\text{(уравнение 2)}$$

Давайте разберемся с этими соотношениями.

Из уравнения 1 мы можем выразить $a$ через $c$:

$$a=65-c\text{(уравнение 3)}$$

Теперь запишем уравнение 2 с учетом уравнения 3:

$$c=(65-c)\cdot \sin ({60}^{\circ })+b\cdot \cos ({60}^{\circ })$$

Раскроем синус и косинус угла 60 градусов:

$$c=(65-c)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+b\cdot \frac{1}{2}$$

Упростим это уравнение:

$$c=\frac{65\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}c+\frac{b}{2}$$

Теперь давайте решим это уравнение относительно $c$:

$$c+\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{65\sqrt{3}}{2}+\frac{b}{2}$$

$$\frac{3}{2}c=\frac{65\sqrt{3}}{2}+\frac{b}{2}$$

$$c=\frac{2}{3}(\frac{65\sqrt{3}}{2}+\frac{b}{2})$$

Теперь, чтобы найти длину гипотенузы, нам нужно знать длину второго катета $b$. Если у нас есть эта информация, мы можем подставить значение $b$ в уравнение и решить его.

Если у вас есть дополнительная информация о задаче, пожалуйста, предоставьте ее, чтобы мы могли рассмотреть полную картину и вам помочь.