Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из углов равен 60 градусов и сумма гипотенузы и меньшего

Максимовна

57

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) выполняется следующее соотношение: \(c^2 = a^2 + b^2\).

Из условия задачи мы знаем, что один из углов треугольника равен 60 градусов. Это означает, что противолежащий этому углу катет будет иметь длину \(a\), а второй катет (меньший) будет равен \(b\).

Также из условия известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 25,2. Давайте обозначим гипотенузу как \(c\) и меньший катет как \(b\). Тогда у нас будет следующее уравнение:

\[c + b = 25,2\]

Мы знаем, что один из углов равен 60 градусов, поэтому можно использовать свойства треугольников для выражения \(a\) и \(b\) через \(c\):

\[a = c \cdot \sin(60^\circ)\]
\[b = c \cdot \cos(60^\circ)\]

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение \(c + b = 25,2\):

\[c + c \cdot \cos(60^\circ) = 25,2\]
\[c \cdot (1 + \cos(60^\circ)) = 25,2\]

Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому можем продолжить решение:

\[c \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 25,2\]
\[c \cdot \frac{3}{2} = 25,2\]

Теперь найдём значение \(c\):

\[c = \frac{25,2}{\frac{3}{2}}\]
\[c = \frac{25,2 \cdot 2}{3}\]
\[c = \frac{50,4}{3}\]
\[c \approx 16,8\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника составляет примерно 16,8.