Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами, площадь которого составляет 49 корней из 3/2, а один

Винтик

67

Для решения данной задачи нам понадобится использовать знания о свойствах прямоугольных треугольников и формулах для вычисления гипотенузы и площади.

Для начала, вспомним, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (самая длинная сторона) связана с катетами (другими двумя сторонами) через теорему Пифагора:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Также, площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
где \(S\) - площадь, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

В данной задаче известно, что площадь треугольника равна \(49 \sqrt{\frac{3}{2}}\), а один из его острых углов равен 60°. Перейдем к пошаговому решению задачи:

Шаг 1: Найдем значение площади треугольника.
Дано, что \(S = 49 \sqrt{\frac{3}{2}}\).

Шаг 2: Найдем длины катетов треугольника.
Для этого воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Подставляем известное значение площади:
\[49 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Шаг 3: Найдем длину одного из катетов.
Для этого выберем в качестве \(a\) длину катета, который находится напротив угла 60°. Так как известно, что один из углов треугольника равен 60°, то противоположная ему сторона - гипотенуза \(c\), в данном случае.

Тогда \(a = c\).

Подставляем это в уравнение из шага 2:
\[49 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b\]

Шаг 4: Найдем второй катет.
Для этого воспользуемся тождеством синуса для прямоугольного треугольника:
\(\sin(\theta) = \frac{a}{c}\),
где \(\theta\) - угол между гипотенузой \(c\) и катетом \(a\).

Подставим известные значения: \(\theta = 60°\) и \(a = c\):
\(\sin(60°) = \frac{c}{c}\)

Соответственно:
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = 1\)

Шаг 5: Решим уравнение из шага 3.
\[49 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b\]

Учитывая, что \(\frac{\sqrt{3}}{2} = 1\), получим:
\[49 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b\]
\[49 \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot c^2\]

Шаг 6: Решим уравнение из шага 5, чтобы найти \(c\).
\[\frac{1}{2} \cdot c^2 = 49 \sqrt{\frac{3}{2}}\]
\[c^2 = 98 \sqrt{\frac{3}{2}}\]
\[c = \sqrt{98 \sqrt{\frac{3}{2}}}\]

Таким образом, длина гипотенузы данного прямоугольного треугольника равна \(\sqrt{98 \sqrt{\frac{3}{2}}}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что это подробное объяснение решения задачи и шаги могут быть упрощены для более простой понимания.