Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого площадь составляет 9 корней из 3/2, а один из острых

Yagoda

10

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать известные формулы для нахождения площади и длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

Дано, что площадь треугольника составляет \(9\sqrt{\frac{3}{2}}\). Площадь можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]

где \(S\) - площадь, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника. В данной задаче у нас один из острых углов равен 30°. Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катеты имеют отношение 1:√3.

Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 9\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Чтобы решить эту уравнение и найти длины катетов, давайте применим некоторые математические операции. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[a \cdot b = 18\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Теперь, зная, что катеты имеют отношение 1:√3, мы можем записать:

\[a = x,\]
\[b = \sqrt{3}x,\]

где \(x\) - некоторая константа. Заменим эти значения в уравнении:

\[x \cdot \sqrt{3}x = 18\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Упростим это уравнение:

\[3x^2 = 18\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[x^2 = 6\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

Теперь избавимся от квадратного корня, возводя обе части уравнения в квадрат:

\[x^2 \cdot x^2 = (6\sqrt{\frac{3}{2}})^2.\]

Упростим:

\[x^4 = 36 \cdot \frac{3}{2}.\]

Выполним умножение:

\[x^4 = 54.\]

Теперь найдем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt[4]{54}.\]

Подставим это значение в уравнения для \(a\) и \(b\):

\[a = \sqrt[4]{54},\]
\[b = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{54}.\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника будет:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt[4]{54})^2 + (\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{54})^2}.\]

Окончательное значение гипотенузы можно вычислить, подставив значения \(a\) и \(b\) в эту формулу.