Какова площадь поверхности, получающейся при вращении равнобедренной трапеции с основаниями длиной 1 и 2 см и боковыми

Zolotoy_Klyuch

46

Чтобы найти площадь поверхности, получаемой при вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины оснований, мы можем применить формулу для площади поверхности вращения. Давайте посмотрим на шаги решения этой задачи подробнее:

1. Начнем с построения равнобедренной трапеции. Задача говорит о трапеции с основанными длиной 1 и 2 см, и боковыми сторонами длиной 2 см. Мы можем построить такую трапецию, как на рисунке. Ребра оснований будут горизонтальными, а боковые стороны - наклонными линиями, которые соединяют вершины оснований.

2. Далее нам нужно найти высоту трапеции, проходящую через середины оснований. Это может быть сделано, поскольку прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии для равнобедренной трапеции. Высоту можно найти, используя теорему Пифагора, так как в нашем случае одно основание в два раза длиннее другого.

3. После нахождения высоты трапеции, мы можем найти длины всех сторон трапеции.

4. Теперь мы готовы использовать формулу для площади поверхности вращения. Формула гласит: \( S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f"(x))^2} \, dx \), где \( f(x) \) - функция, описывающая кривую, вращаемую вокруг оси. В нашем случае функция \( f(x) \) будет описывать наклонную сторону трапеции, а \( a \) и \( b \) будут представлять длину отрезка от одного основания к другому.

5. Заметим, что вращаемая кривая является отрезком прямой линии. Поэтому для нахождения площади поверхности нам нужно вычислить интеграл только для этого отрезка, а затем умножить результат на \( 2\pi \), чтобы учесть полный оборот вокруг оси.

6. Подставим значение функции \( f(x) \) в формулу. В нашем случае функция будет иметь вид \( f(x) = \frac{x}{2} \), так как это уравнение прямой, проходящей через середины оснований.

7. Теперь мы готовы интегрировать функцию. Проинтегрировав, мы получим числовое значение.

8. Наконец, умножим результат на \( 2\pi \), чтобы учесть полный оборот вокруг оси.

Вот шаги решения задачи. Надеюсь, что объяснение понятно и полезно! Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.