Какова длина хорды AC на окружности с радиусом 5 см, если градусные меры дуг AB и BC равны 125° и 175° соответственно?

Скользкий_Барон

35

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства центрального угла и хорды на окружности.

Сначала, посмотрим на картину задачи:

\[круг\]
⦏
⎣ ⦥
A B
⦟ ⦟
⎸ ⎸
C O

Где O - центр окружности, AB - диаметр окружности, AC - наша хорда, а углы AOB, AOC и BOC - центральные углы соответственно.

Известно, что радиус окружности равен 5 см. Зная, что радиус окружности равен половине диаметра (R = \(\frac{d}{2}\)) и длине окружности можно выразить через радиус с помощью формулы \(C = 2\pi R\), мы можем найти длину диаметра и длину хорды.

Длина дуги AB определяется формулой \(l_{AB} = \frac{n_{AB}}{360} \cdot C\), где \(n_{AB}\) - градусная мера дуги AB, а C - длина окружности.
Подставляя известные значения, получим:
\[l_{AB} = \frac{125}{360} \cdot 2\pi \cdot 5 = \frac{125}{360} \cdot 10\pi = \frac{25}{72}\pi\]
Аналогичным образом, длина дуги BC составляет:
\[l_{BC} = \frac{175}{360} \cdot 2\pi \cdot 5 = \frac{175}{360} \cdot 10\pi = \frac{35}{72}\pi\]

Теперь наша задача - найти длину хорды AC. Для этого мы должны отнять длины дуг AB и BC от длины окружности:

\[l_{AC} = C - l_{AB} - l_{BC}\]
Подставляя значения, получим:
\[l_{AC} = 2\pi \cdot 5 - \frac{25}{72}\pi - \frac{35}{72}\pi = 10\pi - \frac{25}{72}\pi - \frac{35}{72}\pi = \frac{160}{72}\pi\]

Обратите внимание, что мы сократили дроби, получив в числителе 160, а в знаменателе 72. Поэтому, окончательный ответ можно упростить, получив:

\[l_{AC} = \frac{160}{72}\pi = \frac{20}{9}\pi \approx 6.28 \,см\]

Таким образом, длина хорды AC равна примерно 6.28 см.