Что нужно найти в прямоугольнике ABCD, где угол BCD равен 90 градусов, BD равно 10 и угол ABD равен 150 градусов?

Sokol

24

Чтобы найти необходимую информацию в данной задаче, мы можем использовать различные свойства прямоугольников и треугольников. Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Нарисуем прямоугольник ABCD с заданными данными:

A------B

|      |

|      |

D------C

Шаг 2: У нас есть следующая информация:
- Угол BCD равен 90 градусов.
- Сторона BD равна 10.
- Угол ABD равен 150 градусов.

Шаг 3: Мы будем использовать свойство прямоугольника, согласно которому все углы равны 90 градусов. Угол BCD в прямоугольнике равен 90 градусов, поэтому треугольник BCD является прямоугольным треугольником.

Шаг 4: Также мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов. Угол ABD равен 150 градусов, поэтому углы ADB и ABD в сумме равны 180 - 150 = 30 градусов.

Шаг 5: Зная, что угол ADB равен 30 градусов, и угол BCD равен 90 градусов, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, согласно которому сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, чтобы найти третий угол треугольника BCD.

Шаг 6: Угол DBC равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

Шаг 7: Теперь, имея все углы треугольника BCD, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти другие стороны треугольника.

Шаг 8: Так как мы знаем угол DBC и сторону BD, мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти сторону CD.

\(\sin(D) = \frac{{противоположная сторона}}{{гипотенуза}}\)

\(\sin(60) = \frac{{CD}}{{BD}}\)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{CD}}{{10}}\)

\(CD = \frac{{10 \cdot \sqrt{3}}}{{2}} = 5\sqrt{3}\)

Шаг 9: Теперь у нас есть две стороны треугольника BCD, BD и CD. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону BC.

\(BC^2 = BD^2 + CD^2\)

\(BC^2 = 10^2 + (5\sqrt{3})^2\)

\(BC^2 = 100 + 75\)

\(BC^2 = 175\)

\(BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\)

Шаг 10: Итак, мы нашли стороны прямоугольника ABCD:
AB = BC = 5\sqrt{7}
BC = CD = 5\sqrt{3}
AD = BD = 10

Ответ: В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = BC = 5\sqrt{7}, BC = CD = 5\sqrt{3} и AD = BD = 10.