Какова длина хорды, образовавшейся через фокус параболы y^2=-x, если она проведена под углом 135 градусов к

Валентина

27

заданной параболе? Для начала, давайте посмотрим на уравнение параболы \(y^2 = -x\). Это уравнение параболы в стандартной форме, где фокус находится в начале координат.

Для нахождения длины хорды, проведенной под углом 135 градусов к параболе, нам понадобится использовать геометрию и тригонометрию. Как вы, возможно, знаете, угол между хордой, проведенной через центр круга, и соответствующей дугой равен удвоенной мере угла дуги.

Поскольку парабола отражает свет от фокуса, мы можем представить себе, что фокус - это источник света, а парабола - это зеркало. Таким образом, хорда, образованная этим светом и отраженная от параболы, будет зеркально отражаться от параболы, что позволит нам найти точку пересечения этой хорды с параболой.

Для начала, давайте найдем уравнение прямой, образующей хорду под углом 135 градусов к параболе. Угол 135 градусов можно представить как \(180^\circ - 45^\circ\). Таким образом, мы ищем хорду, образующую угол 45 градусов с положительным направлением оси \(x\).

Уравнение прямой в общем виде задается формулой \(y = mx + c\), где \(m\) - это угловой коэффициент прямой (slope), а \(c\) - это точка пересечения прямой с осью \(y\) (y-intercept). В нашем случае мы хотим найти прямую, под которой будет проходить хорда под углом 45 градусов. Таким образом, угловой коэффициент (slope) будет \(m = \tan(45^\circ)\).

Теперь давайте найдем этот угловой коэффициент. Тангенс угла 45 градусов равен 1. Таким образом, мы получаем \(m = 1\).

Теперь нам нужно найти точку пересечения этой прямой с параболой y^2 = -x. Для этого мы можем подставить уравнение прямой \(y = x + c\) в уравнение параболы \(y^2 = -x\) и решить получившееся уравнение. Мы получим:

\[(x + c)^2 = -x\]
\[x^2 + 2cx + c^2 = -x\]
\[x^2 + (2c + 1)x + c^2 = 0\]

Теперь, с помощью квадратного трехчлена, мы можем найти значения \(x\). Когда дискриминант этого уравнения будет равен нулю, это будет означать, что у нас есть одно и только одно решение \(x\), что соответствует точке пересечения хорды с параболой.

Дискриминант формулы квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) равен \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2c + 1\) и \(c = c^2\). Подставляя эти значения, мы получим:

\[D = (2c + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c^2\]
\[D = 4c^2 + 4c + 1 - 4c^2\]
\[D = 4c + 1\]

Таким образом, дискриминант равен \(4c + 1\). Когда \(D = 0\), у нас будет одно и только одно решение для \(x\). Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(4c + 1 = 0\)

Решим это уравнение:

\(4c = -1\)

\(c = -\frac{1}{4}\)

Теперь, когда мы знаем \(c\), мы можем найти значение \(x\). Подставим значение \(c\) в уравнение прямой \(y = x + c\):

\(y = x - \frac{1}{4}\)

Теперь, чтобы найти точку пересечения хорды с параболой, мы можем подставить это уравнение в уравнение параболы \(y^2 = -x\):

\(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 = -x\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = -x\)

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} + x = 0\)

Приводим подобные слагаемые:

\(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{16} = 0\)

Теперь, решим это уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным трехчленом или воспользоваться фактом, что это уравнение является квадратным трехчленом с квадратным корнем, который можно легко разложить на множители:

\((x + \frac{1}{4})^2 = 0\)

Раскрываем квадрат:

\(x + \frac{1}{4} = 0\)

Отсюда мы находим:

\(x = -\frac{1}{4}\)

Теперь, когда у нас есть значение \(x\), мы можем подставить его в уравнение прямой \(y = x - \frac{1}{4}\), чтобы найти значение \(y\):

\(y = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\)

\(y = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, точка пересечения хорды с параболой имеет координаты \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}\)\).

Теперь, чтобы найти длину хорды, нам необходимо вычислить расстояние между двумя точками - фокусом параболы (0, 0) и точкой пересечения хорды (\(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}\)).

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) задается формулой:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Применяя эту формулу к нашим значениям, мы получаем:

\[d = \sqrt{{(-\frac{1}{4} - 0)^2 + (-\frac{1}{2} - 0)^2}}\]

\[d = \sqrt{{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2}}\]

\[d = \sqrt{{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}}}\]

\[d = \sqrt{{\frac{5}{16}}}\]

\[d = \frac{1}{4} \sqrt{5}\]

Таким образом, длина хорды, образованной через фокус параболы \(y^2= -x\) и проведенной под углом 135 градусов, равна \(\frac{1}{4} \sqrt{5}\).