Какова длина меньшей стороны и площадь прямоугольника с большей стороной 13,5 дм, диагональю 93√ дм и углом 30 градусов

Solnechnyy_Sharm

18

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом угла между этими сторонами.

Для начала, посмотрим на треугольник, образованный большей стороной прямоугольника, диагональю и линией, проведенной от одного конца большей стороны до противоположного угла прямоугольника. Обозначим длины сторон этого треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) – диагональ, \(a\) – большая сторона прямоугольника, а \(b\) – линия, проведенная от конца большей стороны до противоположного угла прямоугольника. Также обозначим угол между большей стороной и диагональю как \(\theta\).

Применим теорему косинусов для данного треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\]

Мы знаем, что \(c = 93\sqrt{2}\) дм и \(\theta = 30^\circ\), а \(a = 13,5\) дм. Подставим эти значения в формулу:

\[(93\sqrt{2})^2 = (13,5)^2 + b^2 - 2 \cdot 13,5 \cdot b \cdot \cos(30^\circ)\]

Решим это уравнение относительно \(b\). Выполним некоторые действия:

\[2 \cdot 93^2 = 13,5^2 + b^2 - 27b\]

Упростим уравнение:

\[3726 = 182,25 + b^2 - 27b\]

\[0 = b^2 - 27b - 3543,75\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3543,75)\]

\[D = 729 + 14175\]

\[D = 14904\]

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня. Продолжим решение квадратного уравнения:

\[b_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[b_1 = \frac{27 + \sqrt{14904}}{2}\]

\[b_2 = \frac{27 - \sqrt{14904}}{2}\]

Вычислим эти значения:

\[b_1 \approx 55,36\]

\[b_2 \approx -28,36\]

Поскольку стороны не могут иметь отрицательную длину, мы выбираем положительное значение \(b\). Таким образом, меньшая сторона прямоугольника составляет приблизительно 55,36 дм.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину большей стороны на длину меньшей стороны:

Площадь = 13,5 дм * 55,36 дм

Площадь прямоугольника составляет приблизительно 745,44 квадратных дециметра.