Как можно доказать, что оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм, если у двух параллелограммов совпадает

Никита

44

Чтобы доказать, что оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм, если у двух параллелограммов совпадает только одна пара противоположных вершин, мы можем использовать свойства параллелограмма и аккуратные рассуждения.

Возьмем два параллелограмма ABCD и EFGH, у которых совпадает только одна пара противоположных вершин, скажем A и E. Пусть точка M - середина отрезка AE.

Для начала заметим, что прямые AD и EG параллельны (так как это стороны параллелограмма ABCD), а также прямые BC и FH параллельны (так как это стороны параллелограмма EFGH).

Рассмотрим теперь четырехугольник MBCH. Из параллельности сторон BC и FH следует, что противоположные углы MBH и CHB равны. Аналогично, из параллельности сторон AD и EG следует, что противоположные углы MCA и BAC равны. Таким образом, у нас получается, что две пары противоположных углов в четырехугольнике MBCH равны, что является одним из свойств параллелограмма.

Кроме того, можно заметить, что противоположные стороны MB и HC параллельны (так как это стороны параллелограмма ABCD), а также стороны MH и BC параллельны (это следует из определения середины отрезка). Значит, все стороны четырехугольника MBCH параллельны попарно.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник MBCH является параллелограммом. Но, поскольку точка M была выбрана произвольно на отрезке AE, а параллелограммы ABCD и EFGH имеют только одну пару совпадающих вершин A и E, то можно утверждать, что оставшиеся четыре вершины (в данном случае B, C, H и M) образуют новый параллелограмм.

Таким образом, получаем, что оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм MBCH при условии, что у двух параллелограммов совпадает только одна пара противоположных вершин.