Какова длина меньшей стороны прямоугольника, если расстояние от точки, где пересекаются его диагонали, до его более

Chernaya_Magiya

6

Давайте решим данную задачу пошагово.

Пусть \(ABCD\) - это прямоугольник, где \(AB\) и \(CD\) - это его стороны. Обозначим точку пересечения диагоналей прямоугольника как \(O\). Также пусть \(AC\) - это более длинная сторона прямоугольника, а \(BD\) - это более короткая сторона.

По условию задачи, расстояние от точки \(O\) до стороны \(AC\) составляет \(d\).

Чтобы решить задачу, нам потребуется использовать свойство прямоугольника, заключающееся в том, что диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам.

Таким образом, мы можем заключить, что расстояние от точки \(O\) до стороны \(BD\) также составляет \(d\).

Мы знаем, что точка \(O\) делит сторону \(AC\) пополам, поэтому расстояние от точки \(O\) до точки \(B\) равно \(d\). Подобным образом, расстояние от точки \(O\) до точки \(A\) тоже равно \(d\).

Теперь обратимся к треугольнику \(ACO\), где \(AO\) и \(CO\) - это высоты, опущенные на сторону \(AC\). Нам известно, что треугольник \(ACO\) является прямоугольным, так как является частью прямоугольника \(ABCD\).

Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны прямоугольника.

В треугольнике \(ACO\) применим теорему Пифагора к сторонам \(AO\) и \(OC\):

\[
AC^2 = AO^2 + CO^2
\]

Мы уже знаем, что расстояние от точки \(O\) до стороны \(AC\) составляет \(d\), поэтому мы можем заменить \(AO\) и \(CO\) на \(d\) в формуле:

\[
AC^2 = d^2 + d^2
\]

Далее, мы можем упростить уравнение:

\[
AC^2 = 2d^2
\]

Чтобы найти длину стороны \(AC\), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[
AC = \sqrt{2d^2}
\]

Упростим это выражение:

\[
AC = \sqrt{2}d
\]

Таким образом, мы получили выражение для длины стороны \(AC\) через \(d\).

Однако в задаче нас просят найти длину меньшей стороны прямоугольника, которая является \(BD\).

Поскольку \(ABCD\) - это прямоугольник, то \(AC\) является более длинной стороной, а \(BD\) - более короткой стороной.

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника, \(BD\), составляет \(\sqrt{2}d\).

Поэтому, ответом на задачу является: длина меньшей стороны прямоугольника равна \(\sqrt{2}d\).