Какова длина наибольшего ребра прямоугольного параллелепипеда, у которого площади граней равны 15, 18 и 30? Если

Екатерина

66

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

В данном случае у нас есть информация о площадях граней параллелепипеда. Площадь каждой грани равна произведению длины одного ребра на длину другого ребра, таким образом, мы можем записать уравнения:

\[xy = 15 \quad (1)\]
\[xz = 18 \quad (2)\]
\[yz = 30 \quad (3)\]

где \(x\), \(y\) и \(z\) - длины ребер параллелепипеда.

Нашей задачей является найти наибольшее значение одного из ребер. Для этого мы можем воспользоваться знанием о том, что площадь определенной грани является произведением длин смежных ребер, и выбрать наибольшее из трех значений.

Итак, давайте решим эту задачу.

Сначала, умножим уравнение (1) на уравнение (2):

\[(xy)(xz) = (15)(18)\]
\[x^2y^2z = 270 \quad (4)\]

Затем, умножим уравнение (2) на уравнение (3):

\[(xz)(yz) = (18)(30)\]
\[x^2yz^2 = 540 \quad (5)\]

Поделим уравнение (5) на уравнение (4):

\[\frac{x^2yz^2}{x^2y^2z} = \frac{540}{270}\]
\[\frac{z}{y} = 2\]
\[z = 2y \quad (6)\]

Теперь, подставим значение \(z\) из уравнения (6) в уравнение (3):

\[(2y)y = 30\]
\[2y^2 = 30\]
\[y^2 = 15\]
\[y = \sqrt{15} \quad (7)\]

Таким образом, мы нашли значение \(y\).

Теперь, подставим значение \(y\) из уравнения (7) в уравнение (1):

\[x(\sqrt{15}) = 15\]
\[x = \frac{15}{\sqrt{15}}\]
\[x = \sqrt{15} \quad (8)\]

Таким образом, мы нашли значения \(x\) и \(y\).

Наконец, подставим значения \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнение (6), чтобы найти значение \(z\):

\[z = 2(\sqrt{15})\]
\[z = 2\sqrt{15} \quad (9)\]

Итак, мы нашли значения длин всех трех ребер параллелепипеда: \(x = \sqrt{15}\), \(y = \sqrt{15}\) и \(z = 2\sqrt{15}\).

Окончательный ответ: Длина наибольшего ребра прямоугольного параллелепипеда, у которого площади граней равны 15, 18 и 30, равна \(2\sqrt{15}\).

Теперь давайте предоставим чертеж прямоугольного параллелепипеда.

         +--------+

        /       / |

       /       /  |

      +-------+   +

      |       |  /

      |       | /

      +-------+

Надеюсь, данное объяснение и чертеж помогли вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.