Какова длина образующей усеченного конуса с высотой h, если она образует угол 30 градусов с основанием?

Орех

48

Давайте решим данную задачу пошагово, чтобы ответ был максимально понятен школьнику.

Обозначим длину образующей усеченного конуса за \(\ell\). Также, основание конуса образует с образующей угол 30 градусов. Пусть радиус большего основания конуса равен \(R\), а радиус меньшего основания конуса равен \(r\). Нам осталось найти значение \(\ell\) в зависимости от высоты \(h\).

Для начала, нам понадобится теорема косинусов, чтобы найти длину образующей. В усеченном конусе у нас есть треугольник, в котором известными являются сторона \(\ell\) (образующая), сторона \(R\) (радиус большего основания) и угол между ними (\(30^\circ\)). Обозначим третью сторону треугольника за \(d\) и найдём её с помощью теоремы косинусов:

\[d^2 = \ell^2 + R^2 - 2\ell R \cos(30^\circ).\]

Теперь, введём теорему Пифагора в правильном треугольнике, который образуется в усеченном конусе. Рассмотрим этот треугольник с основанием, его высоту и образующую. Обозначим его высоту за \(h"\) (перпендикуляр от вершины до меньшего основания). Тогда:

\[(R-r)^2 = h"^2 + d^2.\]

Теперь, выразим \(d^2\) из этого уравнения:

\[d^2 = (R-r)^2 - h"^2.\]

Мы хотим найти длину образующей \(\ell\), которая равна длине отрезка \(d\). Заменим \(d^2\) в первом уравнении на выражение \((R-r)^2 - h"^2\):

\[(R-r)^2 - h"^2 = \ell^2 + R^2 - 2\ell R \cos(30^\circ).\]

Теперь, представим, что у нас есть равнобедренный треугольник, образованный основанием, образующей \(\ell\) и медианой (отрезок между меньшим основанием и вершиной конуса). В этом равнобедренном треугольнике угол между основанием и образующей равен \(30^\circ\) (так как это исходные условия задачи). Также, угол между образующей и медианой равен \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) (так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\)). Заметим, что это равнобедренный треугольник, так как основание и образующая имеют одинаковую длину.

Используя тригонометрические свойства равнобедренного треугольника, мы можем записать:

\[\frac{R-d}{\ell} = \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ).\]

Теперь, упростим это выражение:

\[\frac{R-d}{\ell} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Раскроем скобки:

\[\frac{R}{\ell} - \frac{d}{\ell} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Поскольку \(R/\ell = 1\) (так как основание и образующая равны), перепишем это выражение:

\[1 - \frac{d}{\ell} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Теперь, найдём \(\ell/d\):

\[\frac{d}{\ell} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Далее, возведём выражение в квадрат:

\[\left(\frac{d}{\ell}\right)^2 = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.\]

Раскроем квадрат справа:

\[\left(\frac{d}{\ell}\right)^2 = 1 + 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.\]

Произведём вычисления:

\[\left(\frac{d}{\ell}\right)^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}.\]

Упростим:

\[\left(\frac{d}{\ell}\right)^2 = \frac{7}{4} + \sqrt{3}.\]

Теперь, найдём \(h"\). Мы можем использовать подобные прямоугольные треугольники (схожими треугольниками) для нахождения соотношения между \(h"\) и \(h\). В усеченном конусе у нас есть два прямоугольных треугольника, оба с общим углом и отношением сторон. Пусть \(k\) будет этим отношением:

\[k = \frac{h"}{h}.\]

Теперь, найдём \(k\). В прямоугольном треугольнике с основанием и \(h\) угол между основанием и \(h\) равен \(30^\circ\). В прямоугольном треугольнике с основанием и \(h"\) угол между основанием и \(h"\) равен \(30^\circ\). Поэтому, у этих треугольников есть идентичные углы, и мы можем записать следующее:

\(\frac{r}{h} = \frac{R}{h"}\).

Теперь, найдём \(h"\) из этого равенства:

\[h" = \frac{R}{r} \cdot h.\]

Теперь, подставим \(h"\) в уравнение:

\[\left(R-r\right)^2 - \left(\frac{R}{r}\cdot h\right)^2 = \ell^2 + R^2 - 2\ell R \cos(30^\circ).\]

Раскроем по формуле квадрата разности:

\[R^2 - 2Rr + r^2 - \left(\frac{R^2h^2}{r^2}\right) = \ell^2 + R^2 - 2\ell R \cos(30^\circ).\]

Упростим:

\[- 2Rr - \left(\frac{R^2h^2}{r^2}\right) = \ell^2 - 2\ell R \cos(30^\circ).\]

Далее, заметим, что \(R/\ell = 1\) (так как основание и образующая равны), и заменим:

\[- 2Rr - \left(\frac{R^2h^2}{r^2}\right) = \ell^2 - 2R \cos(30^\circ).\]

Осталось заметить, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и сократить на \(2R\):

\[- \frac{Rr}{R} - \frac{R^2h^2}{r^2} = \ell^2 - \sqrt{3}R.\]

Сократим на \(R\):

\[- r - Rh^2 \frac{R}{r^2} = \ell^2 - \sqrt{3}R.\]

Теперь, перепишем \(R/r\) как \(R^2/r^2\):

\[- r - Rh^2 \frac{R}{r^2} = \ell^2 - \sqrt{3}R.\]

Теперь, раскроем скобки:

\[- r - Rh^2 \frac{R}{r^2} = \ell^2 - \sqrt{3}R.\]

Очистим одно из уравнения от переменной:

\[- r + \sqrt{3}R = \ell^2 - Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Добавим \(\sqrt{3}R\) в оба выражения:

\[- r + \sqrt{3}R + \sqrt{3}R = \ell^2 - Rh^2 \frac{R}{r^2} + \sqrt{3}R.\]

Упростим:

\[\sqrt{3}R - r + \sqrt{3}R = \ell^2 + \sqrt{3}R - Rh^2 \frac{R}{r^2} - Rh^2 \frac{R}{r^2} + \sqrt{3}R.\]

Это выражение можно ещё упростить:

\[2\sqrt{3}R - r = \ell^2 - 2Rh^2 \frac{R}{r^2} + 2\sqrt{3}R.\]

Выразим \(\ell^2\):

\[2\sqrt{3}R - r - 2\sqrt{3}R = \ell^2 - 2Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Упростим:

\[- r = \ell^2 - 2Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Добавим \(r\) к обоим сторонам:

\[0 = \ell^2 - 2Rh^2 \frac{R}{r^2} + r.\]

Теперь, перепишем это уравнение:

\[\ell^2 + r = 2Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Теперь, заметим, что \(\ell/d = 1 + \sqrt{3}/2\) (как было доказано выше). Заменим \(\ell\) на \(d\cdot\left(1 + \sqrt{3}/2\right)\):

\[d^2\cdot\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + r = 2Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Возводим в квадрат \(1 + \sqrt{3}/2\):

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) + r = 2Rh^2 \frac{R}{r^2}.\]

Теперь, переместим \(r\) налево и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2Rh^2 \frac{R}{r^2} - r.\]

Разложим \(2Rh^2 R/r^2\) на \(2Rh\) и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2Rh\left(\frac{R}{r} - \frac{r}{r}\right).\]

Поскольку \(R/r = h/h"\), заменим \(R/r\) и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2Rh\left(\frac{h}{h"} - 1\right).\]

Подставим вместо \(h"\) его значение:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2Rh\left(\frac{h}{\frac{R}{r} h} - 1\right).\]

Сократим \(h\) и \(h\):

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(\frac{r}{R} - 1\right).\]

Выразим \(r/R\):

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(\frac{r}{R} - \frac{R}{R}\right).\]

Упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(\frac{r}{R} - 1\right).\]

Заменим \(r/R\) на \(1 - R/h"\) и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(1 - \frac{R}{h"}\right).\]

Заменим \(h"/h\) на \(R/r\) и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(1 - \frac{R}{R/r}\right).\]

Сократим \(R\) на \(R\) и упростим:

\[d^2\left(\frac{7}{4} + \sqrt{3}\right) = 2R\left(1 - \frac{1}{r}\right).\]

Умножим обе стороны на \(\frac{4}{7+\sqrt{3}}\) и упростим:

\[d^2 = \frac{8R}{7 + \sqrt{3}}\left(1 - \frac{1}{r}\right).\]

Заметим, что \(R = r + h\) (так как большее основание конуса равно сумме меньшего основания и высоты). Заменим \(R\) на \(r + h\) и упростим:

\[d^2 = \frac{8(r + h)}{7 + \sqrt{3}}\left(1 - \frac{1}{r}\right).\]

Теперь, раскрываем скобку и упрощаем:

\[d^2 = \frac{8(r + h)}{7 + \sqrt{3}} - \frac{8(r + h)}{7 + \sqrt{3}}\cdot\frac{1}{r}.\]

Умножим числитель во втором слагаемом на \(r\) и упростим:

\[d^2 = \frac{8(r + h)}{7 + \sqrt{3}} - \frac{8r(r + h)}{7 + \sqrt{3}}.\]

Теперь, найдём общий знаменатель и сложим дроби:

\[d^2 = \frac{8(r + h) - 8r(r + h)}{7 + \sqrt{3}}.\]

Раскроем скобки в числителе:

\[d^2 = \frac{8r + 8h - 8r^2 - 8rh}{7 + \sqrt{3}}.\]

Умножим на \(-1\) и сократим на \(-2\):

\[-\