Какова длина окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC ABC с прямым углом C , если известно

Сладкая_Бабушка

51

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника, а именно теорему Пифагора, а также формулу для нахождения длины окружности.

Для начала обратимся к теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза треугольника ABC - это отрезок AB, а катеты - это отрезки AC и BC. Таким образом, у нас имеется следующее равенство:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Поскольку AC = 14, нам нужно найти только значение длины отрезка BC. Перепишем уравнение, подставив известные значения:

\[AB^2 = 14^2 + BC^2\]

Теперь нам необходимо найти значение отрезка AB. Для этого воспользуемся свойством синуса. В прямоугольном треугольнике, в нем, синус прямого угла равен отношению длины гипотенузы к длине противоположного катета. В нашем случае синус угла B равен 0,28, а смежный катет - это отрезок BC. Запишем уравнение:

\[\sin B = \frac{BC}{AB}\]

Теперь можем найти значение длины отрезка AB. Для этого разделим уравнение на синус угла B и подставим известное значение:

\[AB = \frac{BC}{\sin B} = \frac{BC}{0,28}\]

Теперь у нас есть выражение для длины отрезка AB в терминах длины отрезка BC.

Далее мы можем подставить это выражение в уравнение для теоремы Пифагора:

\[\left(\frac{BC}{0,28}\right)^2 = 14^2 + BC^2\]

Раскрывая скобки, получим:

\[\frac{BC^2}{0,28^2} = 196 + BC^2\]

Перенесем все слагаемые, содержащие BC^2 в одну часть уравнения:

\[\frac{BC^2}{0,28^2} - BC^2 = 196\]

Вынесем BC^2 за скобку:

\[BC^2\left(\frac{1}{0,28^2} - 1\right) = 196\]

С помощью простых алгебраических преобразований можно упростить это выражение:

\[BC^2\left(\frac{1}{0,0784} - 1\right) = 196\]

\[BC^2\left(\frac{1 - 0,0784}{0,0784}\right) = 196\]

\[BC^2\left(\frac{0,9216}{0,0784}\right) = 196\]

\[BC^2\left(\frac{117}{10}\right) = 196\]

Произведем дальнейшие алгебраические преобразования, чтобы найти значение BC^2:

\[BC^2 = \frac{196 \cdot 10}{117}\]

\[BC^2 \approx 16,84\]

Теперь найдем длину отрезка BC, взяв квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[BC = \sqrt{16,84}\]

\[BC \approx 4,10\]

Теперь мы имеем значения длин отрезков AB и BC. Чтобы найти длину окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения длины окружности:

\[L = 2\pi R\]

где L - длина окружности, R - радиус окружности. В нашем случае, радиус окружности будет равен половине гипотенузы треугольника ABC (то есть половине длины отрезка AB), так как описанная окружность касается всех сторон прямоугольного треугольника. Теперь мы можем вычислить значение длины окружности:

\[L = 2\pi \cdot \frac{AB}{2} = \pi \cdot AB\]

Подставим значение длины отрезка AB (AB = BC / sin B):

\[L = \pi \cdot \frac{BC}{\sin B} = \pi \cdot \frac{4,10}{0,28}\]

Расчитаем значение:

\[L \approx \pi \cdot 14,64\]

\(L \approx 45,99\)

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, составляет около 45,99.