Какова длина окружности, вписанной в ромб, если она делит его сторону на отрезки длиной 8 см и 2 см? В ответе округлите

Медвежонок

66

Чтобы найти длину окружности, вписанной в ромб, мы можем воспользоваться следующими свойствами:
1. Вписанная окружность ромба касается его сторон в точках деления сторон на равные отрезки.
2. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине диагонали ромба.
3. Диагональ ромба делит его на два равнобедренных треугольника.

Исходя из данной задачи, у нас имеются два отрезка, 8 см и 2 см, которые делят сторону ромба на три равные части. Сначала найдем длину стороны ромба, а затем - длину его диагонали.

Поскольку длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности, нам нужно найти только радиус.

Длина стороны ромба равна сумме частей стороны, на которые она делится. В нашем случае это \(8 \, \text{см} + 2 \, \text{см} = 10 \, \text{см}\).

Так как отрезки делят сторону ромба на равные части, получаем, что каждый из них равен \(\frac{10 \, \text{см}}{3}\).

Теперь найдем длину диагонали ромба, используя теорему Пифагора. Если \(d\) - длина диагонали, а \(a\) и \(b\) - части этой диагонали, то \(d^2 = a^2 + b^2\). Так как диагональ делит ромб на два равнобедренных треугольника, имеем \(a = \frac{10 \, \text{см}}{6}\) (половина одной из частей диагонали) и \(b = \frac{10 \, \text{см}}{2}\) (половина стороны ромба).

Теперь можем найти длину диагонали ромба: \[d = \sqrt{\left(\frac{10 \, \text{см}}{6}\right)^2 + \left(\frac{10 \, \text{см}}{2}\right)^2}.\]

После подстановки значений и выполнения вычислений, получаем: \[d \approx 8{,}53 \, \text{см}.\]

Наконец, радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине диагонали ромба. Таким образом, радиус составляет \(\frac{8{,}53 \, \text{см}}{2} \approx 4{,}27 \, \text{см}\).

Теперь мы можем определить длину окружности, вписанной в ромб, используя формулу \(2\pi r\), где \(r\) - радиус: \[L \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 4{,}27 \, \text{см} \approx 26{,}83 \, \text{см}.\]

Таким образом, длина окружности, вписанной в ромб, округлена до сотых и составляет приблизительно 26,83 см.