Какова длина отрезка АА1, если известно, что параллельные прямые m и n пересекают стороны угла МDР (рис. 102), а также

Печенье

4

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим известные факты. У нас есть угол МДР, а также параллельные прямые m и n, которые пересекают стороны этого угла. Для удобства, обозначим точку пересечения этих прямых как точку С (см. рисунок 102).

Поскольку прямые m и n параллельны, то углы ДСР и СРА равны, так как они соответственные и одноименные.

Также, поскольку ДА = 8 см, это означает, что отрезок ДС также равен 8 см.

Аналогично, поскольку ВВ1 = 18 см, отрезок СВ также равен 18 см.

Давайте обозначим длину отрезка АА1 как х см. Тогда отрезок СА будет равен (8 + х) см, а отрезок СА1 будет равен (18 + х) см.

Поскольку углы СА1А и ДСР равны, мы можем записать соотношение между сторонами этих треугольников:

\(\frac{СА1}{ДС} = \frac{СА}{АС1}\)

\(\frac{18 + х}{8} = \frac{8 + х}{х}\)

Давайте решим это уравнение:

\((18 + х) \cdot х = (8 + х) \cdot 8\)

Раскрываем скобки:

\(18х + х^2 = 64 + 8х\)

Переносим все члены в одну часть уравнения:

\(х^2 + 18х - 8х - 64 = 0\)

Сокращаем подобные члены:

\(х^2 + 10х - 64 = 0\)

Это квадратное уравнение. Для его решения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\), где a = 1, b = 10, c = -64.

\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)\)

\(D = 100 + 256\)

\(D = 356\)

Так как дискриминант положительный (D > 0), у уравнения есть два корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения:

\(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{356}}{2}\)

\(x_2 = \frac{-10 - \sqrt{356}}{2}\)

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение:

\(x = \frac{-10 + \sqrt{356}}{2}\)

Теперь подставим значение x обратно в уравнение, чтобы найти длину отрезка АА1:

\(AA1 = 18 + х\)

\(AA1 = 18 + \frac{-10 + \sqrt{356}}{2} = 18 - 5 + \frac{1}{2}\sqrt{356} = 13 + \frac{1}{2}\sqrt{356}\)

Таким образом, длина отрезка АА1 равна \(13 + \frac{1}{2}\sqrt{356}\) см.