Какова длина отрезка АО, если на рисунке угол ВАС является прямым, а угол между плоскостями α и β составляет

Parovoz

27

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника при известных длинах двух других сторон и величине между ними угла.

Обозначим точки на рисунке следующим образом: точка В - вершина прямого угла, точка А - начало отрезка, точка С - конец отрезка, а α и β - плоскости.

Из условия задачи угол ВАС является прямым, что означает, что треугольник ВАС прямоугольный.

Пусть \(\overline{BC}\) - гипотенуза прямоугольного треугольника ВАС, а \(\overline{AB}\) и \(\overline{AC}\) - катеты. Тогда, с помощью теоремы косинусов, мы можем выразить длину гипотенузы через длины катетов и величину угла:

\(\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\cos\angle{BAC}\)

В нашем случае угол между плоскостями α и β составляет 30 градусов, поэтому \(\angle{BAC} = 30^\circ\).

Теперь заменим обозначения в формуле и решим:

\(\overline{AO}^2 = \overline{BA}^2 + \overline{AC}^2 - 2\cdot\overline{BA}\cdot\overline{AC}\cdot\cos{30^\circ}\)

Обозначение отрезка АО дано в задаче, нам нужно найти его длину. Подставим известные значения и решим уравнение:

\(\overline{AO}^2 = \overline{BA}^2 + \overline{AC}^2 - 2\cdot\overline{BA}\cdot\overline{AC}\cdot\cos{30^\circ}\)

\(\overline{AO}^2 = \overline{BA}^2 + \overline{AC}^2 - 2\cdot\overline{BA}\cdot\overline{AC}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Очевидно, что \(\overline{BA}\) и \(\overline{AC}\) равны, так как они являются сторонами отрезка АС, поэтому заменим их на \(x\):

\(\overline{AO}^2 = x^2 + x^2 - 2\cdot x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\overline{AO}^2 = 2x^2 - x^2\cdot\sqrt{3}\)

Теперь упростим это уравнение:

\(\overline{AO}^2 = x^2(2 - \sqrt{3})\)

Извлечем корень из обеих частей уравнения:

\(\overline{AO} = \sqrt{x^2(2 - \sqrt{3})}\)

Таким образом, длина отрезка АО равна \(\sqrt{x^2(2 - \sqrt{3})}\), где \(\overline{AC} = \overline{BA} = x\).