Какова длина отрезка АО, если на рисунке угол ВАС является прямым, а угол между плоскостями α и β составляет

Parovoz

27

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника при известных длинах двух других сторон и величине между ними угла.

Обозначим точки на рисунке следующим образом: точка В - вершина прямого угла, точка А - начало отрезка, точка С - конец отрезка, а α и β - плоскости.

Из условия задачи угол ВАС является прямым, что означает, что треугольник ВАС прямоугольный.

Пусть $\overline{BC}$ - гипотенуза прямоугольного треугольника ВАС, а $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ - катеты. Тогда, с помощью теоремы косинусов, мы можем выразить длину гипотенузы через длины катетов и величину угла:

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \cos \mathrm{\angle }BAC$

В нашем случае угол между плоскостями α и β составляет 30 градусов, поэтому $\mathrm{\angle }BAC={30}^{\circ }$.

Теперь заменим обозначения в формуле и решим:

${\overline{AO}}^2={\overline{BA}}^2+{\overline{AC}}^2-2\cdot \overline{BA}\cdot \overline{AC}\cdot \cos {30}^{\circ }$

Обозначение отрезка АО дано в задаче, нам нужно найти его длину. Подставим известные значения и решим уравнение:

${\overline{AO}}^2={\overline{BA}}^2+{\overline{AC}}^2-2\cdot \overline{BA}\cdot \overline{AC}\cdot \cos {30}^{\circ }$

${\overline{AO}}^2={\overline{BA}}^2+{\overline{AC}}^2-2\cdot \overline{BA}\cdot \overline{AC}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Очевидно, что $\overline{BA}$ и $\overline{AC}$ равны, так как они являются сторонами отрезка АС, поэтому заменим их на $x$:

${\overline{AO}}^2=x^2+x^2-2\cdot x^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

${\overline{AO}}^2=2x^2-x^2\cdot \sqrt{3}$

Теперь упростим это уравнение:

${\overline{AO}}^2=x^2(2-\sqrt{3})$

Извлечем корень из обеих частей уравнения:

$\overline{AO}=\sqrt{x^2(2-\sqrt{3})}$

Таким образом, длина отрезка АО равна $\sqrt{x^2(2-\sqrt{3})}$, где $\overline{AC}=\overline{BA}=x$.