Какова длина отрезка ДО и ОС, если известно, что хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О, АО равно 12

Владислав

49

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство пересекающихся хорд окружности, которое гласит, что произведение длин сегментов одной хорды равно произведению длин сегментов другой хорды.

Пусть \(ДО\) обозначает длину сегмента хорды \(АВ\), находящегося между точкой пересечения хорд (\(О\)) и конечной точкой хорды (\(В\)). Пусть \(ОС\) обозначает длину сегмента хорды \(СД\), находящегося между точкой пересечения хорд (\(О\)) и конечной точкой хорды (\(Д\)).

Даны значения \(АО = 12 \) см и \(ОВ = 4\) см. Мы также знаем, что отношение \(ДО\) к \(ОС\) равно \(3 : 5\).

Используя свойство пересекающихся хорд и данные в задаче, мы можем установить следующее соотношение:

\[(ДО) \times (ОС) = (АО) \times (ОВ)\]

Подставляем известные значения:

\[(3x) \times (5x) = (12) \times (4)\]

Раскрываем скобки:

\[15x^2 = 48\]

Делаем x предметом уравнения:

\[x^2 = \frac{48}{15}\]

Вычисляем:

\[x^2 = \frac{16}{5}\]

Чтобы найти значение \(x\), возведем оба значения в квадрат:

\[x = \sqrt{\frac{16}{5}}\]

\[x = \frac{4}{\sqrt{5}}\]

\[x = \frac{4 \sqrt{5}}{5}\]

Теперь, зная значение \(x\), мы можем найти длины отрезков \(ДО\) и \(ОС\):

\[ДО = 3x = 3 \times \frac{4 \sqrt{5}}{5} = \frac{12 \sqrt{5}}{5} \approx 5.37 \, \text{см}\]

\[ОС = 5x = 5 \times \frac{4 \sqrt{5}}{5} = 4 \sqrt{5} \approx 8.94 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка \(ДО\) составляет примерно 5.37 см, а длина отрезка \(ОС\) составляет примерно 8.94 см.