Какова длина отрезка КК1, если прямые, проходящие через концы отрезка MN и его середину К, параллельны и пересекают

Belka

34

Для начала разберемся с геометрическими условиями задачи. У нас есть отрезок MN, и через его концы и середину К проведены прямые, параллельные друг другу. Они пересекают плоскость а в точках M1, N1 и K1 соответственно. Также известно, что длина отрезка ММ1 равна 12 см, а длина отрезка NN1 равна...

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством параллельности прямых в пространстве.

Поскольку прямые MN и M1N1 параллельны, то соответствующие им отрезки имеют одинаковое соотношение длин. То есть:

\[\frac{MM1}{MN} = \frac{N1N}{N1N1}\]

Заметим, что отрезок MN равномерно делит прямую MM1 пополам, поскольку К является серединой отрезка MN. Поэтому отрезки MM1 и MN равны друг другу и равны половине длины отрезка MN, то есть \(MM1 = \frac{1}{2}MN\). Теперь у нас есть значения для MM1 и MN, поставим их в уравнение:

\[\frac{\frac{1}{2}MN}{MN} = \frac{N1N}{N1N1}\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{2} = \frac{N1N}{N1N1}\]

Теперь выразим N1N через N1N1. Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых, которое гласит, что соответствующие углы между параллельными прямыми равны. Так как N1N1 и KK1 -- пересекающиеся прямые, угол N1NK1 равен углу K1KK1.

Теперь обратимся к треугольнику KK1K1. Поскольку KK1 -- основание треугольника, а K1K -- высота, то угол N1NK1 равен углу K1KK1, поскольку они оба являются углами при основании треугольника.

Теперь, воспользовавшись равенством углов, мы можем сказать, что угол N1NKK1 равен углу N1NK1. Кроме того, у треугольника N1NK1 угол N1N равен углу N1K1, поскольку они оба являются углами при основании треугольника.

Теперь у нас есть два треугольника N1KK1 и N1K1K. В этих треугольниках у нас есть две пары углов, равных между собой. Следовательно, эти треугольники подобны друг другу по стороне-уголу-стороне (СУС).

В подобных треугольниках соотношение длин сторон равно соотношению длин соответствующих сторон. То есть:

\[\frac{N1N}{KK1} = \frac{KK1}{N1K1}\]

Теперь у нас есть значения для N1N и KK1, поставим их в уравнение:

\[\frac{N1N}{KK1} = \frac{KK1}{N1K1}\]

Упростим уравнение:

\[N1N \cdot N1K1 = (KK1)^2\]

Теперь, зная это уравнение, мы можем выразить KK1 через N1N и N1K1:

\[KK1 = \sqrt{N1N \cdot N1K1}\]

Таким образом, длина отрезка KK1 равна корню квадратному из произведения длин отрезков N1N и N1K1.

Мы получили ответ на задачу. Теперь можно подставить известные значения и вычислить длину отрезка KK1.