Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота равна 2 и двугранный угол

Морж

58

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, сначала нужно найти длину бокового ребра пирамиды. Это можно сделать, используя теорему Пифагора.

Как известно, для правильного треугольника угол при основании равен 60 градусов. Но в данной задаче угол при основании равен 45 градусам. Если рассматривать треугольник, образованный половиной основания пирамиды и высотой, то можно заметить, что угол между высотой и половиной основания составляет 15 градусов (45 градусов - 30 градусов).

Теперь, рассмотрим такой треугольник и обозначим длину половины основания как \(x\). Тогда, длина бокового ребра будет равна \(\tan(15^\circ)\), где \(\tan\) - тангенс угла.

\[\tan(15^\circ) = \frac{{1}}{{\sqrt{3} - 1}}\]

Чтобы упростить эту дробь, можно использовать тригонометрическое тождество \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}}{{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}}\), с применением которого получим:

\[\tan(15^\circ) = \frac{{\tan(30^\circ - 15^\circ)}}{{1 + \tan(30^\circ) \tan(15^\circ)}}\]

Так как угол 30 градусов - это угол, для которого мы знаем значение тангенса, можно подставить:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\]

Далее, подставим значение тангенса \(30^\circ\) в исходное уравнение:

\[\tan(15^\circ) = \frac{{\tan(30^\circ - 15^\circ)}}{{1 + \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \cdot \tan(15^\circ)}}\]

Составим уравнение и решим его:

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) + \tan(15^\circ) = \tan(30^\circ - 15^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) = \tan(30^\circ - 15^\circ) - \tan(15^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) = \frac{{\tan(30^\circ) - \tan(15^\circ)}}{{1 + \tan(30^\circ) \cdot \tan(15^\circ)}} - \tan(15^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) \cdot (1 + \tan(30^\circ) \cdot \tan(15^\circ)) = \tan(30^\circ) - \tan(15^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) + \sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(15^\circ) = \tan(30^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) \cdot (1 + \sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(15^\circ)) = \tan(30^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan^2(15^\circ) + \sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) = \tan(30^\circ)\]

\[\sqrt{3} \cdot \tan^2(15^\circ) + \sqrt{3} \cdot \tan(15^\circ) - \tan(30^\circ) = 0\]

Решая это квадратное уравнение относительно \(\tan(15^\circ)\), получим два корня:

\[\tan(15^\circ) = \frac{{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 4 \cdot \sqrt{3}}}}{{2}}\]

Длина бокового ребра пирамиды должна быть положительной, поэтому необходимо взять положительный корень:

\[\tan(15^\circ) = \frac{{-\sqrt{3} + \sqrt{3 + 4 \cdot \sqrt{3}}}}{{2}}\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно вычислить площадь равностороннего треугольника и умножить ее на количество боковых поверхностей. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{{4}}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника. В нашем случае, длина стороны треугольника равна длине бокового ребра, которую мы нашли:

\[a = \tan(15^\circ)\]

Подставляя значения, получим:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\tan^2(15^\circ) \cdot \sqrt{3}}}{{4}}\]

Теперь нужно умножить площадь треугольника на количество боковых поверхностей. Правильная треугольная пирамида имеет 4 боковые поверхности. Поэтому площадь боковой поверхности пирамиды будет равна:

\[S_{\text{боков. поверхности}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}}\]

Подставляя значение площади треугольника, получим итоговый ответ:

\[S_{\text{боков. поверхности}} = 4 \cdot \frac{{\tan^2(15^\circ) \cdot \sqrt{3}}}{{4}}\]

Выполняя все рассчеты, получим окончательный ответ.