Какова длина отрезка lb при условии, что на стороне ad квадрата abcd отмечена точка k, а на продолжении луча

Радуга

67

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами геометрии и теорией треугольников. Давайте посмотрим на картинку, чтобы лучше представить себе задачу:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & \text{d} & & & \\
& & & & \downarrow & & & \\
& & & \text{c} & & \text{k} & & \\
& & & \downarrow & & \downarrow & & \\
\text{a} & ---- & \text{l} & ---- & \text{b} & ---- & \text{lb} & \\
& & & & & \uparrow & \uparrow & \\
& & & & & 45^\circ & & \\
\end{array}
\]

Из условия задачи мы знаем, что угол \(lkc\) равен \(45^\circ\), а длина отрезка \(ak\) равна 1, а \(kd\) равна 2.

Для начала, заметим, что треугольник \(lkc\) — прямоугольный, так как угол \(lkc\) равен \(45^\circ\). Давайте посчитаем значение длины отрезка \(lk\) с помощью теоремы Пифагора:

\[
lk = \sqrt{{kc}^2 + {lc}^2}
\]

Теперь найдем значение длины отрезка \(kc\). Мы знаем, что длина отрезка \(kd\) равна 2, а длина отрезка \(lc\) равна длине стороны квадрата \(abcd\). Тогда:

\[
kc = kd - dc = 2 - lc
\]

Мы также можем найти значение длины отрезка \(alc\) с помощью теоремы Пифагора, так как треугольник \(alc\) теперь тоже является прямоугольным:

\[
alc = \sqrt{{ac}^2 + {lc}^2}
\]

Теперь у нас есть значение отрезка \(alc\), равное \(lk\), и значение отрезка \(alc\), равное \(1\). Мы можем записать уравнение, используя данные значения:

\[
\sqrt{{ac}^2 + {lc}^2} = \sqrt{{kc}^2 + {lc}^2} + 1
\]

Теперь возведем уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[
{ac}^2 + {lc}^2 = {kc}^2 + {lc}^2 + 2\sqrt{{kc}^2 + {lc}^2} + 1
\]

После сокращения \(lc^2\) с обеих сторон уравнения и упрощения, получим:

\[
{ac}^2 = {kc}^2 + 2\sqrt{{kc}^2 + {lc}^2} + 1
\]

Теперь заменим значения \(kc = 2 - lc\) и \(lc = ab\), так как \(lc\) равно длине стороны \(abcd\):

\[
{ac}^2 = (2 - ab)^2 + 2\sqrt{(2 - ab)^2 + ab^2} + 1
\]

Подставим значение длины стороны \(abcd\) (которая равна \(ab\)) в уравнение:

\[
{ac}^2 = (2 - ab)^2 + 2\sqrt{(2 - ab)^2 + ab^2} + 1
\]

Теперь остается только решить это квадратное уравнение относительно \(ab\). Выполнив несколько преобразований, получим:

\[
ab^2 - 4ab + 3 = 0
\]

Данное уравнение является квадратным и может быть решено с помощью дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два вещественных корня. Решим квадратное уравнение:

\[
ab = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{4 \pm \sqrt{4}}}{{2}} = \frac{{4 \pm 2}}{{2}} = 3 \text{ или } 1
\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для длины стороны \(abcd\): 3 и 1.

Но длина стороны квадрата не может быть 3, так как это противоречит условию задачи. Таким образом, длина стороны \(abcd\) равна 1.

Подставим это значение в уравнение, чтобы найти длину отрезка \(lb\):

\[
lk = \sqrt{{kc}^2 + {lc}^2} = \sqrt{{(2 - ab)^2 + ab^2}} = \sqrt{{(2 - 1)^2 + 1^2}} = \sqrt{{1 + 1}} = \sqrt{{2}}
\]

Таким образом, длина отрезка \(lb\) равна \(\sqrt{{2}}\).