Какова длина отрезка PC, если прямая a пересекает плоскость β в точке C, образуя с плоскостью угол 30°, а точка

Skorostnaya_Babochka

38

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из геометрии и тригонометрии. Давайте разберем каждый этап решения по порядку.

1. Начнем с построения схемы задачи, чтобы визуализировать данную ситуацию. Для этого нарисуем плоскость β и проведем прямую a, которая пересекает плоскость β в точке C. Точку P поместим на прямой a. Также нарисуем точку R, которая является проекцией точки P на плоскость β. Теперь у нас есть треугольник PCR.

2. Отметим, что угол между прямой a и плоскостью β составляет 30°. Поскольку точка R является проекцией точки P на плоскость β, отрезок PR будет перпендикулярен плоскости β. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник PRC, в котором угол между гипотенузой PC и катетом PR равен 90°.

3. Зная, что длина отрезка PR равна 9 (по условию задачи), нам нужно найти длину отрезка PC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Таким образом, можно записать уравнение:

\[PC^2 = PR^2 + RC^2\]

4. Однако у нас нет информации о длине отрезка RC. Но мы можем найти эту длину, используя тригонометрию. Поскольку у нас есть угол между прямой a и плоскостью β, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синуса.

Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[\sin(30°) = \frac{RC}{PR}\]

\[RC = PR \cdot \sin(30°) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5\]

5. Теперь, когда мы знаем длину отрезка RC, мы можем подставить значения в уравнение из шага 3:

\[PC^2 = PR^2 + RC^2\]

\[PC^2 = 9^2 + 4.5^2\]

\[PC^2 = 81 + 20.25\]

\[PC^2 = 101.25\]

6. Чтобы найти длину отрезка PC, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[PC = \sqrt{101.25}\]

\[PC \approx 10.06\]

Таким образом, длина отрезка PC примерно равна 10.06.