Какова длина прилежащего к углу катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 98 корней из 3 и один

Lunya

16

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения длины его катетов. Обозначим длины катетов как a и b, тогда формула будет выглядеть так: \[S = \frac{1}{2}ab\].

2. Мы знаем, что площадь треугольника составляет 98 корней из 3, то есть \(S = 98\sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу: \[98\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab\].

3. Так как один из острых углов треугольника равен 60°, а прямоугольный треугольник имеет углы 90°, 60° и 30°, то можно сделать вывод, что противоположный катет будет равен \(\frac{a}{2}\).

4. Давайте обозначим расстояние прилежащего к углу катета как \(x\). Тогда противоположный катет будет равен \(\frac{x}{2}\).

5. Теперь мы можем записать нашу формулу для площади с использованием этих обозначений: \[98\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2}\].

6. Упростим выражение: \[98\sqrt{3} = \frac{1}{4}x^2\].

7. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 4: \[392\sqrt{3} = x^2\].

8. Чтобы найти значение x, возведем обе части уравнения в квадрат: \[x = \sqrt{392\sqrt{3}}\].

9. Возводим в квадрат: \[x = \sqrt{392 \cdot \sqrt{3}}\].
\[x = \sqrt{392} \cdot \sqrt{\sqrt{3}}\].

10. Мы знаем, что \(\sqrt{392} = 2\sqrt{98}\).
\[x = 2\sqrt{98} \cdot \sqrt{\sqrt{3}}\].
\[x = 2\sqrt{98 \cdot \sqrt{3}}\].

11. Дальше, мы можем упростить \(\sqrt{98 \cdot \sqrt{3}}\).
\(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\).
Значит, \(\sqrt{98 \cdot \sqrt{3}} = 7\sqrt{2 \cdot \sqrt{3}}\).

12. Наконец, умножаем и записываем окончательный ответ: \[x = 2 \cdot 7\sqrt{2 \cdot \sqrt{3}}\].
\[x = 14\sqrt{2\sqrt{3}}\].

Таким образом, длина прилежащего к углу катета прямоугольного треугольника равна \(14\sqrt{2\sqrt{3}}\).