Какова длина высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу в прямоугольном треугольнике с углом а, равным

Загадочный_Песок_1039

14

Конечно! Давайте решим эту задачу. У нас есть прямоугольный треугольник с углом а, равным 30 градусам, и катетами, равными 5 см и a см. Нам нужно найти длину высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами треугольников и тригонометрическими функциями. Давайте разберемся шаг за шагом:

Шаг 1: Найдем значение гипотенузы.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной, и она определяется по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где c - гипотенуза треугольника.

В нашем случае у нас есть катеты a = 5 см и b = a см. Подставим значения в формулу и найдем гипотенузу:
\[5^2 + a^2 = c^2\]
\[25 + a^2 = c^2\]
\[c = \sqrt{25 + a^2}\]

Шаг 2: Найдем длину высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, разделяет гипотенузу на две части, и каждая из этих частей является катетом исходного треугольника.

Обозначим длину высоты как h. Тогда, используя свойство подобных треугольников, мы можем написать следующее отношение:
\(\frac{h}{a} = \frac{c}{b + h}\)

Подставим найденное значение гипотенузы и решим полученное уравнение относительно высоты h.

\(\frac{h}{5} = \frac{\sqrt{25 + a^2}}{a + h}\)
\(h(a + h) = 5 \cdot \sqrt{25 + a^2}\)
\(h^2 + ah = 5 \cdot \sqrt{25 + a^2} - ah\)
\(h^2 + 2ah = 5 \cdot \sqrt{25 + a^2}\)
\(h^2 + 2ah - 5 \cdot \sqrt{25 + a^2} = 0\)

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение для нахождения h.
Можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения. С учетом коэффициентов из нашего уравнения, получим:
\[h = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(1)(-5 \cdot \sqrt{25 + a^2})}}{2(1)}\]
\[h = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 20 \cdot \sqrt{25 + a^2}}}{2}\]
\[h = -a \pm \sqrt{a^2 + 5 \cdot \sqrt{25 + a^2}}\]

Таким образом, длина высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равна \(h = -a \pm \sqrt{a^2 + 5 \cdot \sqrt{25 + a^2}}\).

Поскольку длина высоты не может быть отрицательной, выбираем положительное значение для ответа:

\[h = \sqrt{a^2 + 5 \cdot \sqrt{25 + a^2}} - a\]

Это и есть искомая длина высоты в нашем прямоугольном треугольнике.