Какова длина проекции наклонной ак на плоскость, если известно, что наклонная ак, проведенная из точки а до данной

Krokodil_9643

44

Чтобы найти длину проекции наклонной ак на плоскость, мы можем воспользоваться формулой проекции вектора на другой вектор.

Формула проекции вектора \(\vec{A}\) на вектор \(\vec{B}\) выглядит так:
\[\text{proj}_{\vec{B}}(\vec{A}) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{B} \rVert} \cdot \frac{\vec{B}}{\lVert \vec{B} \rVert}\]

Теперь мы можем применить эту формулу к нашей задаче. Пусть вектор \(\vec{A}\) представляет наклонную ак, имеющую длину 14, а вектор \(\vec{B}\) представляет нормаль к плоскости, на которую мы проецируем наклонную ак.

Так как наклонная ак составляет угол 30 градусов с плоскостью, угол между наклонной ак и её проекцией на плоскость будет также 30 градусов.

Поскольку у нас нет конкретных значений для компонент вектора \(\vec{B}\), мы можем представить его в виде \(\vec{B} = (x, y, z)\), где \(x\), \(y\) и \(z\) - неизвестные компоненты.

Также, мы знаем, что длина проекции наклонной ак на плоскость равна 14, поэтому можем записать уравнение, используя формулу проекции вектора на другой вектор:
\[\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{B} \rVert} \cdot \frac{\vec{B}}{\lVert \vec{B} \rVert} = 14\]

Распишем формулу проекции:
\[\frac{(\vec{A} \cdot \vec{B}) \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{B} \rVert^2} = 14\]

Теперь заметим, что вектор \(\vec{B}\) и его проекция на плоскость будут коллинеарны, то есть состоят из параллельных векторов в одном направлении. Поэтому мы можем записать \(\vec{B}\) в виде \(\vec{B} = \alpha \cdot (1, 0, 0)\), где \(\alpha\) - некоторое число.

Тогда получаем:
\[\frac{\vec{A} \cdot \alpha \cdot (1, 0, 0)}{\lVert \alpha \cdot (1, 0, 0) \rVert^2} \cdot \frac{\alpha \cdot (1, 0, 0)}{\lVert \alpha \cdot (1, 0, 0) \rVert} = 14\]

Сокращаем одинаковые множители и получаем:
\[\frac{\vec{A} \cdot (1, 0, 0)}{\lVert (1, 0, 0) \rVert} \cdot \frac{1}{\lVert (1, 0, 0) \rVert} = 14\]

Так как \(\vline\vline (1, 0, 0) \vline\vline = 1\), имеем:
\[\frac{\vec{A} \cdot (1, 0, 0)}{1} \cdot \frac{1}{1} = 14\]

Или просто:
\[\vec{A} \cdot (1, 0, 0) = 14\]

Так как угол между векторами \(\vec{A}\) и \((1, 0, 0)\) составляет 30 градусов, косинус этого угла равен \(cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, мы получаем следующее уравнение:
\[\lVert \vec{A} \rVert \cdot \lVert (1, 0, 0) \rVert \cdot cos(30^\circ) = 14\]

Подставляем значения и упрощаем:
\[14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\]

Получаем ответ:
\[\frac{14\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, длина проекции наклонной ак на плоскость равна \(\frac{14\sqrt{3}}{2}\) или примерно 12.12.