У нас есть квадрат со стороной b, в который вписана окружность. Затем эту окружность вписывают в квадрат так, чтобы

Magnitnyy_Marsianin

67

Давайте разберёмся с этой интересной задачей.

Пусть сторона первоначального квадрата равна $b$. Тогда радиус окружности, вписанной в этот квадрат, будет равен половине длины стороны квадрата, то есть $\frac{b}{2}$.

Для нахождения площади первоначального квадрата можно воспользоваться формулой: $S=a^2$, где $S$ - площадь квадрата, а $a$ - длина его стороны. В нашем случае $a=b$, поэтому $S_{\text{первоначального квадрата}}=b^2$.

Теперь вспомним, что радиус вписанной окружности равен $\frac{b}{2}$, а длина окружности может быть найдена по формуле: $L=2\pi r$, где $L$ - длина окружности, а $r$ - радиус. В нашем случае $r=\frac{b}{2}$, поэтому $L_{\text{первой окружности}}=2\pi \cdot \frac{b}{2}=\pi b$.

Теперь вопрос: "Что происходит, когда окружность вписывается в новый квадрат?". При вписывании окружности в новый квадрат, сторона этого квадрата будет равна диаметру вписанной окружности (в два раза больше радиуса). Известно, что диаметр равен удвоенному радиусу, то есть $d=2r$, или в нашем случае $d=2\cdot \frac{b}{2}=b$.

Таким образом, каждый последующий квадрат имеет сторону равную длине диаметра предыдущей вписанной окружности.

Чтобы найти площадь каждого последующего квадрата, нужно возвести его сторону в квадрат по аналогии с первоначальным квадратом. Из этого следует, что площадь $n$-го квадрата равна $b_n^2$, где $b_n$ - длина стороны $n$-го квадрата.

Теперь обратимся к окружностям, вписанным в каждый последующий квадрат. Если в предыдущем квадрате радиус окружности был равен $r$, то в текущем квадрате радиус будет равен половине диаметра предыдущей окружности. То есть $r"=\frac{b}{2}$, где $r"$ - радиус текущей окружности.

Теперь можно найти длину $n$-й окружности по формуле $L_n=2\pi r"=2\pi \cdot \frac{b}{2}=\pi b$.

Таким образом, сумма площадей всех полученных квадратов будет равна:
$$S_{\text{всех квадратов}}=b^2+b_1^2+b_2^2+\dots$$

А сумма длин всех полученных окружностей равна:
$$L_{\text{всех окружностей}}=\pi b+\pi b_1+\pi b_2+\dots$$

Тут мы сталкиваемся с зацикливанием задачи: после каждого шага вписывания окружности в новый квадрат, мы снова получаем исходный квадрат, только со стороной длиной диаметра предыдущей окружности. Таким образом, сумма длин всех окружностей будет равна сумме длин всех оригинальных окружностей, то есть $\pi b$ бесконечное количество раз.

Итак, сумма длин всех окружностей равна $L_{\text{всех окружностей}}=\pi b\cdot \mathrm{\infty }$. Такое умножение на бесконечность будет неопределённым и не имеет конкретного значения.

Что касается суммы площадей квадратов, нужно сначала понять, к чему эта сумма будет стремиться по мере увеличения количества шагов вписывания окружностей. Если зациклить задачу и предположить, что мы уже получили все возможные квадраты и окружности, то можно заметить, что каждый новый квадрат имеет сторону в два раза меньше предыдущего квадрата ($b_1=\frac{b}{2}$, $b_2=\frac{b_1}{2}=\frac{b}{4}$, $b_3=\frac{b_2}{2}=\frac{b}{8}$ и так далее). Таким образом, сторона $n$-го квадрата будет равна $\frac{b}{2^n}$.

Теперь можно найти сумму всех полученных квадратов:
$$S_{\text{всех квадратов}}=b^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2^2}\right)}^2+\dots$$

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $a$ и знаменателем $m$, где $|m|<1$, используется формула:
$$S=\frac{a}{1-m}$$

Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем:
$$S_{\text{всех квадратов}}=\frac{b^2}{1-\frac{1}{4}}=\frac{b^2}{\frac{3}{4}}=\frac{4b^2}{3}$$

Таким образом, сумма площадей всех полученных квадратов равна $\frac{4b^2}{3}$.

В итоге, получаем:
сумма площадей всех квадратов = $\frac{4b^2}{3}$
сумма длин всех окружностей = $\pi b\cdot \mathrm{\infty }$, что является неопределённым значением.

Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен. Если у вас есть ещё вопросы, буду рад помочь.