Какова длина биссектрисы al треугольника с координатами вершин a(4; 0; 1), b(5; -2; 1), c(4

Pugayuschiy_Lis

64

Для нахождения длины биссектрисы AL треугольника с вершинами A(4; 0; 1), B(5; -2; 1) и C(4; 2; 3), мы можем использовать знание о свойствах биссектрисы и расстояния между точками в трехмерном пространстве.

1. Изначально, мы должны найти уравнения боковых сторон треугольника AB и AC.

Для этого нужно вычислить разности координат точек.
Для AB: \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (5 - 4; -2 - 0; 1 - 1) = (1; -2; 0)\)
Для AC: \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (4 - 4; 2 - 0; 3 - 1) = (0; 2; 2)\)

2. Теперь, найдем уравнение плоскости треугольника ABC, используя векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\).

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -2 & 0 \\
0 & 2 & 2
\end{vmatrix} = (4; 2; 2)\)

Теперь, зная нормальный вектор (4; 2; 2) плоскости треугольника ABC, мы можем записать уравнение плоскости в виде:

\(4x + 2y + 2z + d = 0\)

Для определения значения коэффициента d, мы можем использовать координаты одной из вершин.
Подставим координаты точки A(4; 0; 1) в уравнение плоскости:

\(4(4) + 2(0) + 2(1) + d = 0\) ===> \(16 + 2 + d = 0\) ===> \(d = -18\)

Таким образом, уравнение плоскости треугольника ABC имеет вид:

\(4x + 2y + 2z - 18 = 0\)

3. Теперь мы можем найти координаты точки пересечения биссектрисы AL с плоскостью треугольника ABC.

Биссектриса AL делит угол BAC пополам. Поэтому ее можно описать следующим образом: \(L = A + k \cdot \vec{AB} + l \cdot \vec{AC}\), где коэффициенты k и l - произвольные вещественные числа.

Подставим координаты точки L(x; y; z) и векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) в уравнение плоскости треугольника ABC:

\(4x + 2y + 2z - 18 = 0\)

Подставим также координаты вершины A(4; 0; 1) и получим следующую систему уравнений:

\(4 + k \cdot 1 + l \cdot 0 = x\)
\(k \cdot (-2) + l \cdot 2 = y\)
\(1 + k \cdot 0 + l \cdot 2 = z\)
\(4x + 2y + 2z - 18 = 0\)

4. Решим эту систему уравнений для нахождения координат точки пересечения биссектрисы AL с плоскостью треугольника ABC.

Решением системы будет являться точка L(x; y; z), которую мы ищем.

Для удобства, мы можем заменить x, y и z на новые переменные u, v и w соответственно:

\(x = u\)
\(y = v\)
\(z = w\)

Подставим эти замены в систему уравнений:

\(4 + k - lv = u\)
\(-2k + 2l = v\)
\(1 + 2l = w\)
\(4u + 2v + 2w - 18 = 0\)

Теперь, приведем систему уравнений к стандартному виду, сгруппировав переменные:

\(u + kv - lw = 4\)
\(-2k + 2l = v\)
\(2l = w - 1\)
\(4u + 2v + 2w = 18\)

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (u, v, w, k). Решение этой системы позволит найти координаты точки L.

5. Решим систему уравнений численно, используя математический программный пакет или калькулятор:

После решения системы уравнений, мы получаем значения переменных u, v, w и k, которые соответствуют координатам точки L.

6. Наконец, найдем длину биссектрисы AL используя формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве.

Длина биссектрисы AL будет равна:

\(| \vec{AL} | = \sqrt{(x_l - x_a)^2 + (y_l - y_a)^2 + (z_l - z_a)^2}\)

Где (x_l, y_l, z_l) - это координаты точки L, а (x_a, y_a, z_a) - координаты вершины A.

Подставим найденные координаты точки L и вершины A:

\(| \vec{AL} | = \sqrt{(x_l - 4)^2 + (y_l - 0)^2 + (z_l - 1)^2}\)

Таким образом, мы найдем длину биссектрисы AL треугольника.