Какова длина промежутка, на котором функция f(x)= -x^3/3-13x^2/2+14x+13 возрастает?

Elisey

59

Чтобы найти промежуток, на котором функция возрастает, мы должны найти моменты, когда производная функции положительна. Производная функции f(x) может быть найдена путем нахождения производных от каждого слагаемого.

Итак, начнем с нахождения производных:

\[f(x) = -\frac{{x^3}}{3} - \frac{{13x^2}}{2} + 14x + 13\]

\[\frac{{df(x)}}{{dx}} = -\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^3}}{3}\right) - \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{13x^2}}{2}\right) + \frac{{d}}{{dx}}(14x) + \frac{{d}}{{dx}}(13)\]

Производная константы равна нулю, поэтому последний член (13) будет исключен. Вычислим производные слагаемых:

\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^3}}{3}\right) = \frac{{3x^2}}{3} = x^2\]

\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{13x^2}}{2}\right) = \frac{{26x}}{2} = 13x\]

\[\frac{{d}}{{dx}}(14x) = 14\]

Теперь найдем промежутки, где производная положительна. Для этого нам нужно решить следующее неравенство:

\[x^2 + 13x + 14 > 0\]

Мы можем решить это неравенство, находя моменты, когда левая часть равна нулю.

\[x^2 + 13x + 14 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать факторизацию или метод дискриминанта. Дискриминант (D) этого уравнения равен:

\[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(1)(14) = 169 - 56 = 113\]

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня. Поэтому функция возрастает на промежутках между этими корнями.

Корни этого уравнения можно найти с помощью формулы дискриминанта:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-13 \pm \sqrt{113}}}{{2}}\]

Учитывая, что нас интересуют только промежутки, где функция возрастает, мы должны найти промежуток между этими корнями.

Итак, длина промежутка, на котором функция f(x) возрастает, равна:

\[x_2 - x_1 = \frac{{-13 + \sqrt{113}}}{{2}} - \frac{{-13 - \sqrt{113}}}{{2}} = \sqrt{113}\]