Какова длина самой короткой диагонали параллелограмма с равными сторонами 4 см и 6 см, и углом в 120 градусов? Выберите

Хвостик

11

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

У нас есть параллелограмм с равными сторонами 4 см и 6 см. По свойству параллелограмма, противоположные стороны должны иметь одинаковую длину, поэтому для нашего параллелограмма оба поперечных ребра имеют длину 6 см.

У нас также есть информация о значении одного из углов параллелограмма: 120 градусов. Зная, что сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов, мы можем найти величину второго угла, который противолежит данному углу. Раз мы знаем один угол, равный 120 градусов, то второй угол равен 360 градусов минус 120 градусов, то есть 240 градусов.

Теперь у нас есть два угла и два стороны параллелограмма. Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти длину диагонали. Закон косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)\]

Где c - это длина диагонали, a и b - длины сторон параллелограмма, а \(\angle C\) - угол между сторонами a и b.

Подставив значения из нашей задачи, получаем:

\[c^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(240^\circ)\]

Вычислим:

\[c^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos(240^\circ)\]

Теперь найдем значение косинуса угла 240 градусов. Угол 240 градусов находится в третьем квадранте, где косинус отрицателен. Для вычисления косинуса угла 240 градусов, мы можем использовать свойство косинуса периодичности:

\[\cos(240^\circ) = \cos(240^\circ - 180^\circ)\]

так как \(\cos(240^\circ - 180^\circ) = \cos(60^\circ)\)

Далее, \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)

Подставляя это обратно в уравнение, получаем:

\[c^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 16 + 36 - 24\]

\[c^2 = 28\]

Для получения финального ответа нам нужно вычислить квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{28}\]

Итак, длина самой короткой диагонали параллелограмма составляет \(\sqrt{28}\) см. Приближенный ответ будет равен примерно 5,29 см.

Ответ: \(6 \sqrt{2}\) см.