Какова длина средней линии равнобокой трапеции, высота которой равна 5 см, а угол, образуемый диагональю трапеции

Лев_6900

67

Предварительно, давайте вспомним некоторые основные понятия о равнобокой трапеции. Равнобокая трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара оснований параллельна другой паре оснований. Параллельные основания называются меньшим и большим основаниями.

Чтобы найти длину средней линии равнобокой трапеции, нам понадобятся два параметра: высота трапеции (обозначим ее через h) и угол, образуемый диагональю трапеции и большим основанием (обозначим его через α).

Решим задачу пошагово:

Шаг 1: Изначально у нас имеется высота трапеции h = 5 см и угол α = 30°.

Шаг 2: Для начала, найдем боковую сторону равнобокой трапеции. Для этого можно использовать теорему косинусов. Обозначим эту сторону через a.

В равнобокой трапеции все стороны равны между собой, поэтому a = a (равносторонняя трапеция).

Применим теорему косинусов для нахождения стороны a:

\[\cos(30°) = \frac{a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(45°)}{2 \cdot a \cdot a}\]

Упростим выражение:

\[\cos(30°) = \frac{2a^2 (1 - \cos(45°))}{2a^2}\]

\[\cos(30°) = \frac{2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}{2}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Выразим a:

\[2 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим:

\[a = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Шаг 3: Теперь, когда у нас известна боковая сторона a, найдем длину средней линии трапеции. Обозначим ее через m.

В равнобокой трапеции длина средней линии равна полусумме длин оснований. То есть

\[m = \frac{a + a}{2} = a\]

Таким образом, длина средней линии равнобокой трапеции равна \(a = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\) см.

Задача решена! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, задавайте.