Какова длина стороны ab треугольника abc, если известно, что длина стороны ac равна 40,2 см, угол b равен 60° и угол

Ариана

67

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответственные противолежащие углы.

В нашей задаче, у нас даны длины сторон \(ac\) и углы \(b\) и \(c\). Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны \(ab\).

По теореме синусов, мы можем записать:

\[
\frac{ab}{\sin C} = \frac{ac}{\sin B}
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
\frac{ab}{\sin 45°} = \frac{40.2 \, \text{см}}{\sin 60°}
\]

Теперь нам нужно найти значения синусов углов 45° и 60°. Значение синуса 45° равно \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и значение синуса 60° равно \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставив эти значения в уравнение, получим:

\[
\frac{ab}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{40.2 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]

Упростим выражение, умножив обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[
ab = \frac{40.2 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \sqrt{2}
\]

Теперь, умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\):

\[
ab = \frac{40.2 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}
\]

Дальше мы можем упростить это выражение:

\[
ab = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{18}}{3}
\]

Теперь, упростим корень из 18, получим окончательное значение:

\[
ab = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{18}}{3} = \frac{40.2 \, \text{см} \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 40.2 \, \text{см} \cdot \sqrt{2} \approx 56.88 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина стороны \(ab\) треугольника \(abc\) составляет около 56.88 см.