Какова длина стороны AC прямоугольного треугольника ABC (угол C=90), если: AB=8, ctgB=3/4?

Parovoz

31

Дано: \(AB = 8\) и \(\cot{B} = \frac{3}{4}\).

1. Сначала нам нужно найти угол B. Мы знаем, что котангенс угла B равен \(\frac{3}{4}\).
Котангенс угла B вычисляется как \(\cot{B} = \frac{1}{\tan{B}}\).

2. Поскольку \(\cot{B} = \frac{3}{4}\), то \(\tan{B} = \frac{4}{3}\).

3. Используем определение тангенса: \(\tan{B} = \frac{BC}{AB}\), где BC - противолежащий катет угла B треугольника ABC.

4. Так как \(\tan{B} = \frac{4}{3}\) и \(AB = 8\), можем найти значение BC:
\[BC = \tan{B} \times AB = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}.\]

5. Теперь, чтобы найти длину стороны AC (гипотенузы), воспользуемся теоремой Пифагора:
\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{32}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{1024}{9}} = \sqrt{\frac{576 + 1024}{9}} = \sqrt{\frac{1600}{9}} = \frac{40}{3}.\]

Итак, длина стороны \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна \(\frac{40}{3}\).