Какова длина стороны CD треугольника BCD, если плоскость, параллельная стороне BD, пересекает сторону ВС в точке

Bublik_8630

51

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые геометрические знания и немного алгебры. Давайте разберемся в деталях.

Посмотрим на данный треугольник BCD. Мы знаем, что плоскость, параллельная стороне BD, пересекает сторону ВС в точке В1 и сторону CD в точке D1. Для начала, давайте проведем отрезок B1D1.

Теперь обратим внимание на условие, что отрезок СD1 короче D1D на 4 см. Пусть CD1 = x, а D1D = x + 4.

Также дано, что отношение B1D1 к BD равно 4:9. Мы можем записать это в виде уравнения:
\(\frac{B1D1}{BD} = \frac{4}{9}\)

Так как B1D1 = x + 4 и BD = CD + D1D, мы можем заменить их в уравнении:
\(\frac{x + 4}{CD + (x + 4)} = \frac{4}{9}\)

Решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
\(9(x + 4) = 4(CD + x + 4)\)

Раскроем скобки:
\(9x + 36 = 4CD + 4x + 16\)

Теперь сгруппируем по переменной x:
\(9x - 4x = 4CD - 36 + 16\)

Упростим:
\(5x = 4CD - 20\)

Мы также знаем, что отрезок СD1 короче D1D на 4 см. То есть, CD1 = D1D - 4. Подставим это в уравнение:
\(x = (x + 4) - 4 = x\)

Теперь мы получили систему уравнений:
\(\begin{cases} 5x = 4CD - 20 \\ x = x \end{cases}\)

Поскольку x = x, мы можем заменить его первым уравнением:
\(5x = 4CD - 20\)

Теперь решим это уравнение относительно CD. Сначала приведем его к более удобному виду:
\(4CD = 5x + 20\)

Теперь разделим обе части на 4:
\(CD = \frac{5x + 20}{4}\)

Мы знаем, что x = 4, так как отрезок СD1 короче D1D на 4 см. Подставим это в уравнение:
\(CD = \frac{5 \cdot 4 + 20}{4}\)

Выполним вычисления:
\(CD = \frac{40}{4} = 10\)

Таким образом, длина стороны CD треугольника BCD равна 10 см.