Какова длина стороны описанного около окружности правильного четырёхугольника, если сторона правильного треугольника

Sovenok_531

34

Чтобы найти длину стороны описанного около окружности правильного четырёхугольника, нам нужно использовать свойство правильных многоугольников: все углы многоугольника и стороны многоугольника равны между собой.

Начнем с рассмотрения правильного треугольника, вписанного в описанную окружность. Пусть длина стороны этого треугольника равна \( a \).

У нас уже есть информация о длине стороны правильного треугольника: \( a = 4\sqrt{3} \). Затем обратим внимание на углы этого треугольника. Так как треугольник правильный, все его углы равны 60 градусам, что делает их равными между собой.

Теперь давайте рассмотрим описанный около окружности правильный четырёхугольник. Вспомним, что угол четырёхугольника равен 90 градусам и каждый угол четырёхугольника равен 360 градусов, поскольку это правильный четырёхугольник.

У нас есть два угла: 90 градусов и 360 градусов. Из общего угла находим меру внешнего угла четырёхугольника, вычитая меру угла четырёхугольника, которая равна 360 градусов минус 90 градусов, и находим внешний угол четырёхугольника равным 270 градусам.

Теперь мы можем применить свойство правильных многоугольников. Мы знаем, что сумма всех внешних углов правильного многоугольника равна 360 градусов. Поскольку у нас есть только один внешний угол четырёхугольника, равный 270 градусам, нам остаётся найти угол четырёхугольника равный 360 минус 270 равный 90 градусов.

Теперь, когда мы определили меру угла четырёхугольника, можем приступить к найденной стороне описанного около окружности правильного треугольника, равной \( a \), а именно: \( 4\sqrt{3} \).

В четырёхугольнике у нас есть теорема о вписанном угле, которая говорит о том, что если угол вписан в окружность, его мера составляет половину меры соответствующего внешнего угла.

Таким образом, чтобы найти длину стороны описанного около окружности правильного четырёхугольника, мы можем использовать формулу:

\[ \text{Сторона четырёхугольника} = 2 \cdot \text{Радиус окружности} \cdot \sin(\text{Внешний угол четырёхугольника}) \]

Поскольку правильный четырёхугольник - это равнобедренный треугольник, у которого основание равно \(2 \cdot \text{Радиус окружности}\), мы можем записать:

\[ \text{Сторона четырёхугольника} = 2 \cdot \text{Радиус окружности} \cdot \sin(45^\circ) \]

Теперь мы можем выразить радиус окружности через длину стороны правильного треугольника:

\[ \text{Радиус окружности} = \frac{a}{2 \cdot \sin(\text{Внешний угол четырёхугольника})} \]

Найденное значение радиуса окружности мы можем подставить в формулу для длины стороны четырёхугольника:

\[ \text{Сторона четырёхугольника} = 2 \cdot \left( \frac{a}{2 \cdot \sin(\text{Внешний угол четырёхольника})} \right) \cdot \sin(\text{Внешний угол четырёхугольника}) \]

Упрощая, получаем:

\[ \text{Сторона четырёхугольника} = a \]

В итоге, длина стороны описанного около окружности правильного четырёхугольника равна \( 4\sqrt{3} \).

Хочу обратить ваше внимание, что этот ответ применим только к правильным четырёхугольникам, в которых основание лежит на окружности.