Какие уравнения описывают плоскость, параллельную плоскости 4х-5у+2z+11=0 и проходящую через точку P(3;-2;-4)?

Антон

34

Чтобы найти уравнение плоскости, которая параллельна данной плоскости 4х-5у+2z+11=0 и проходит через точку P(3;-2;-4), нам потребуется знать две вещи: направляющий вектор данной плоскости и координаты точки.

Направляющий вектор для данной плоскости можно получить из коэффициентов при переменных в уравнении плоскости. В данном случае у нас есть уравнение 4х-5у+2z+11=0, и коэффициенты при переменных x, у и z равны 4, -5 и 2 соответственно. Таким образом, направляющий вектор для данной плоскости равен [4, -5, 2].

Зная направляющий вектор и координаты точки, через которую проходит плоскость (P(3;-2;-4)), мы можем использовать уравнение плоскости в векторной форме, чтобы получить искомое уравнение.

Уравнение плоскости, заданное в векторной форме, имеет вид:
\[\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0}) = 0,\]
где \(\vec{n}\) - направляющий вектор плоскости, \(\vec{r}\) - произвольный вектор на плоскости, \(\vec{r_0}\) - вектор, задающий точку, через которую проходит плоскость.

Заменяя значения в соответствующие формулы, получим:
\[ [4,-5,2]\cdot \left(\begin{array}{c} x-3 \\ y+2 \\ z+4 \end{array}\right) = 0.\]

Выполняем вычисления:
\[ 4(x-3) - 5(y+2) + 2(z+4) = 0.\]

Продолжаем сокращать:
\[ 4x - 12 - 5y - 10 + 2z + 8 = 0.\]

Далее объединяем слагаемые:
\[ 4x - 5y + 2z - 14 = 0.\]

Таким образом, уравнение плоскости, которая параллельна плоскости 4х-5у+2z+11=0 и проходит через точку P(3;-2;-4), имеет вид:
\[4x - 5y + 2z - 14 = 0.\]

Это и есть искомое уравнение плоскости. Оно описывает плоскость, которая параллельна данной плоскости и проходит через заданную точку P(3;-2;-4).