Какова длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, если длина ее бокового ребра составляет 5

Алексеевич

29

Чтобы определить длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, мы можем использовать информацию о длине бокового ребра и площади полной поверхности.

Первым шагом давайте определим площадь основания пирамиды. Поскольку пирамида является правильной, её основание будет равносторонним четырехугольником. Для вычисления площади правильного четырехугольника мы можем использовать формулу:

\[ Площадь\_основания = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

где \( a \) - длина стороны основания пирамиды. Однако, нам пока неизвестна длина стороны основания, поэтому продолжим с вычислением площади полной поверхности.

Вторым шагом определим площадь полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности состоит из площади её основания и площади всех её боковых граней. У правильной пирамиды все боковые грани равносторонние треугольники.

Площадь основания мы еще не знаем, но длина бокового ребра уже известна. Одна боковая грань представляет собой равносторонний треугольник, поэтому его площадь можно выразить следующей формулой:

\[ Площадь\_грани = \frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{4} \]

где \( a \) - длина стороны основания пирамиды, которую мы ищем.

Вернемся к площади полной поверхности и применим полученную формулу для площади боковых граней:

\[ Площадь\_поверхности = Площадь\_основания + 4 \cdot Площадь\_грани \]

Подставим значения и решим уравнение:

\[ 84 = Площадь\_основания + 4 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{4} \]

Упростим:

\[ 84 = Площадь\_основания + \sqrt{3} \cdot a^2 \]

Теперь, поскольку мы знаем, что у пирамиды все боковые ребра равны 5 см:

\[ 84 = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot a^2 \]

Упростим дальше:

\[ 84 = a^2(\frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}) \]

Теперь избавимся от скобок:

\[ 84 = a^2(\frac{\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{4}) \]

\[ 84 = a^2(\frac{5\sqrt{3}}{4}) \]

Затем домножим обе стороны на \(\frac{4}{5\sqrt{3}}\) для изолирования \(a^2\):

\[ \frac{4}{5\sqrt{3}} \cdot 84 = a^2 \]

\[ \frac{336}{5\sqrt{3}} = a^2 \]

Чтобы получить \(a\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ a = \sqrt{\frac{336}{5\sqrt{3}}} \]

\[ a \approx 5.12 \, \text{см} \]

Таким образом, длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды составляет около 5.12 см.