Какова длина стороны ромба, если его острый угол равен 45 градусам и его площадь равна 18√2?

Гроза

32

Чтобы определить длину стороны ромба, если известен его острый угол равный 45 градусов и площадь равна \(18\sqrt{2}\), давайте воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Найдём высоту ромба.
Длина высоты можно выразить через площадь и длину одной стороны ромба, используя формулу для площади ромба. Формула для площади ромба выглядит следующим образом:
\[ S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2} \]
где \( S \) - площадь ромба, а \( d_1 \) и \( d_2 \) - его диагонали.

Так как у нас есть только площадь ромба, мы должны найти длину одной из его диагоналей, используя данную площадь и высоту. Подставим в формулу следующие значения: \( S = 18\sqrt{2} \), а высотой ромба будет половина этого значения (так как она перпендикулярна сторонам ромба и соединяет их через одну точку).

\[ \text{{Высота ромба}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \]

Шаг 2: Найдём длину одной стороны ромба.
Так как у нас есть высота ромба, мы можем найти длину одной из его сторон с помощью теоремы Пифагора. В ромбе, высота является биссектрисой острого угла, поэтому мы можем разбить ромб на два прямоугольных треугольника, где высота будет служить гипотенузой.

Пусть \( x \) будет длиной стороны ромба. Затем длина половины основания будет \(\frac{x}{2}\). Применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами (половина основания ромба) и гипотенузой (высотой ромба), мы получим следующее уравнение:

\[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( 9\sqrt{2} \right)^2 = x^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ \frac{x^2}{4} + 162 = x^2 \]

Перенесём все члены уравнения влево:

\[ x^2 - \frac{x^2}{4} - 162 = 0 \]

Rешим уравнение, раскрыв скобки и приведём подобные члены:

\[ \frac{3}{4}x^2 - 162 = 0 \]

Шаг 3: Найдём значение \( x \), длины одной стороны ромба.
Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение в форме \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = \frac{3}{4} \), \( b = 0 \) и \( c = -162 \).

Применим квадратное уравнение, используя формулу:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Подставим значения в формулу и решим:

\[ x = \frac{{-0 \pm \sqrt{{0^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot (-162)}}}}{{2 \cdot \frac{3}{4}}} \]
\[ x = \frac{{\pm \sqrt{{0 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot (-162)}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm \sqrt{{0 + 648}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm \sqrt{{648}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm \sqrt{{36 \cdot 18}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm \sqrt{{6^2 \cdot 3 \cdot 2}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm 6 \sqrt{{3 \cdot 2}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \frac{{\pm 6 \sqrt{{6}}}}{{\frac{3}{2}}} \]
\[ x = \pm \frac{{12 \sqrt{{6}}}}{{3}} \]
\[ x = \pm 4 \sqrt{{6}} \]

Поэтому длина стороны ромба равна \( 4 \sqrt{{6}} \) или \( -4 \sqrt{{6}} \).

Итак, длина стороны ромба, если его острый угол равен 45 градусам и его площадь равна \( 18\sqrt{2} \), равна \( 4 \sqrt{{6}} \) или \( -4 \sqrt{{6}} \). У нас может быть два ответа, так как ромб может иметь симметричный отраженный вариант относительно оси.