Какова общая площадь боковых граней тетраэдра DABC, в котором трое ребер с общей вершиной D перпендикулярны друг другу

Vechnyy_Strannik

44

Чтобы найти общую площадь боковых граней тетраэдра DABC, нужно вычислить площадь каждой отдельной боковой грани и сложить их значения.

Наш тетраэдр DABC имеет четыре боковые грани: DAB, DAC, DBC и ABC. Дано, что трое ребер с общей вершиной D перпендикулярны друг другу, а значит, грани DAB, DAC и DBC будут прямоугольными треугольниками.

По условию задачи, мы знаем, что DA = 8 и DB = 6. Чтобы найти площадь каждой из трех прямоугольных боковых граней, нам нужно найти высоту каждого из треугольников.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. Так как DA и DB задаются значениями в условии, нам нужно найти DC - третью сторону треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника DAB, так как у нас есть значения DA и DB.

\(\begin{align*} DC^2 &= DA^2 + DB^2 \\ DC^2 &= 8^2 + 6^2 \\ DC^2 &= 64 + 36 \\ DC^2 &= 100 \\ DC &= 10 \end{align*}\)

Теперь мы знаем все стороны треугольников DAB, DAC и DBC.
Для вычисления площади каждой из этих граней, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Для грани DAB:
\(\begin{align*} S_{DAB} &= \frac{1}{2} \times DA \times DB \\ S_{DAB} &= \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ S_{DAB} &= 24 \end{align*}\)

Для грани DAC:
\(\begin{align*} S_{DAC} &= \frac{1}{2} \times DA \times DC \\ S_{DAC} &= \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \\ S_{DAC} &= 40 \end{align*}\)

Для грани DBC:
\(\begin{align*} S_{DBC} &= \frac{1}{2} \times DB \times DC \\ S_{DBC} &= \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \\ S_{DBC} &= 30 \end{align*}\)

Теперь, чтобы найти общую площадь боковых граней тетраэдра DABC, сложим площади каждой из граней:

\[S_{\text{общ}} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC}\]
\[S_{\text{общ}} = 24 + 40 + 30\]
\[S_{\text{общ}} = 94\]

Таким образом, общая площадь боковых граней тетраэдра DABC равна 94 единицам площади.