Какова длина стороны восьмиугольника, полученного после отрезания углов однородного квадрата с длиной стороны

Ярус

59

Чтобы найти длину стороны восьмиугольника, полученного после отрезания углов квадрата, давайте разберемся пошагово:

1. Пусть сторона квадрата равна \(а\).
2. Отрежем углы квадрата, образуя восьмиугольник.
3. После отрезания углов, каждый угол в восьмиугольнике будет равен 45 градусам.
4. Рассмотрим один из треугольников внутри восьмиугольника.
5. В этом треугольнике имеются два равных угла, каждый из которых равен 45 градусам.
6. Также известно, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам.
7. Поэтому, чтобы найти третий угол внутри треугольника, нужно вычесть сумму двух известных углов из 180 градусов:
\[180° - 45° - 45° = 90°.\]
8. Обратите внимание, что полученный третий угол равен прямому углу (90 градусов).
9. Таким образом, получаем, что треугольник внутри восьмиугольника - это прямоугольный треугольник.
10. В прямоугольном треугольнике диагонали, проведенные к катетам, являются перпендикулярными биссектрисами.
11. Зная, что в нашем случае один из катетов равен \(а\), можно применить основную теорему о прямоугольных треугольниках, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
12. Применим эту теорему:
\[а^2 = катет^2 + катет^2.\]
В нашем случае, так как один катет равен \(а\), заменим \(катет\) на \(а\):
\[а^2 = а^2 + катет^2.\]
13. Теперь, найдем значение катета. Для этого, выразим его из полученного уравнения:
\[катет^2 = а^2 - а^2.\]
Сокращаемся:
\[катет^2 = 0.\]
Из этого следует, что \(катет = 0\).
14. Таким образом, получаем, что один из катетов равен 0.
15. Исходя из этого, длина стороны восьмиугольника равна:
\[сторона = катет + а = 0 + а = а.\]

Итак, длина стороны восьмиугольника, полученного после отрезания углов однородного квадрата, равна длине стороны исходного квадрата.