Какова длина световой волны, если первый дифракционный максимум находится на расстоянии 24,6 см от центрального

Margarita

52

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для дифракции Фраунгофера:

\(d\sin(\theta) = m\lambda\),

где \(d\) - период решетки, \(\theta\) - угол, под которым происходит дифракция, \(m\) - порядок дифракционного максимума, и \(\lambda\) - длина световой волны.

У нас дано, что первый дифракционный максимум находится на расстоянии 24,6 см от центрального максимума и на расстоянии 226 см от решетки. Изобразим это на схеме:

O | O
|
| | |
| | |
---|------|-------|---
| 24.6 cm 226 cm

Мы можем рассмотреть два треугольника: прямоугольный треугольник, образованный между центральным максимумом, первым дифракционным максимумом и решеткой, а также прямоугольный треугольник, образованный между первым дифракционным максимумом, решеткой и пунктирной линией, проведенной из центра решетки перпендикулярно к лучу.

Обозначим \(x\) - расстояние от центрального максимума до первого дифракционного максимума, и \(L\) - расстояние от решетки до первого дифракционного максимума. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать:

\(L^2 = x^2 + 24.6^2\),

и

\(L^2 = (226 - x)^2 + 24.6^2\).

Решим эти уравнения.

Во-первых, найдем значение \(L^2\) из первого уравнения:

\(L^2 = x^2 + 24.6^2\).

Теперь найдем значение \(L^2\) из второго уравнения:

\(L^2 = (226 - x)^2 + 24.6^2\).

Приравняем эти два значения:

\(x^2 + 24.6^2 = (226 - x)^2 + 24.6^2\).

Раскроем скобки:

\(x^2 + 605.16 = 51156 - 452.52x + x^2 + 605.16\).

Упростим уравнение:

\(452.52x = 51156\).

Разделим обе части на 452.52:

\(x = \frac{51156}{452.52}\).

Вычислим значение \(x\):

\(x \approx 113.1204\).

Теперь, зная значение \(x\), мы можем найти значение \(L\):

\(L = 226 - x\).

Подставим найденное значение \(x\):

\(L = 226 - 113.1204\).

\(L \approx 112.8796\).

Теперь мы можем найти длину световой волны, используя формулу для дифракции:

\(d\sin(\theta) = m\lambda\).

Для первого дифракционного максимума, порядок \(m\) равен 1.

Также из геометрии, можно установить \(d = 0.0050\) м (или 5 мм).

Из формулы дифракции, мы можем найти \(\sin(\theta)\):

\(\sin(\theta) = \frac{m\lambda}{d}\).

Теперь, найдем \(\lambda\):

\(\lambda = \frac{d\sin(\theta)}{m} = \frac{0.0050 \times \sin(\theta)}{1}\).

Так как дифракционный максимум находится под углом \(\theta\) и первый максимум соответствует \(x\) расстоянию, мы можем найти \(\sin(\theta)\) используя соотношение:

\(\sin(\theta) = \frac{x}{L} = \frac{113.1204}{112.8796}\).

Подставив данное значение в формулу для \(\lambda\), получим окончательный ответ:

\(\lambda = \frac{0.0050 \times \frac{113.1204}{112.8796}}{1}\).

\(\lambda \approx 0.005015\) м (или около 5 мм).