Какова длина вектора |3АС-2ВС|, где А(2;-1;3), В(0;3;5) и С(-4;7;2)?

Romanovna

69

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\) и вычислить их разность. Затем мы найдем длину этой разности, чтобы получить искомую длину вектора.

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\):
Для этого вычтем координаты точки А из координат точек С и B соответственно:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (-4 - 2; 7 - (-1); 2 - 3) = (-6; 8; -1)\)
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (-4 - 0; 7 - 3; 2 - 5) = (-4; 4; -3)\)

2. Вычислим разность векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\):
\(\overrightarrow{3AC - 2BC} = 3 \cdot \overrightarrow{AC} - 2 \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot (-6; 8; -1) - 2 \cdot (-4; 4; -3)\\
= (-18; 24; -3) - (-8; 8; -6) = (-18 + 8; 24 - 8; -3 + 6) = (-10; 16; 3)\)

3. Найдем длину вектора \(\overrightarrow{3AC - 2BC}\):
Для этого будем использовать формулу для вычисления длины вектора:
\(|\overrightarrow{3AC - 2BC}| = \sqrt{(-10)^2 + 16^2 + 3^2}\\
= \sqrt{100 + 256 + 9} = \sqrt{365} \approx 19.104\) (округляем до трех десятичных знаков)

Таким образом, длина вектора \(|3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{BC}|\) равна примерно 19.104.